Algèbre sur un anneau

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En mathématiques, une algèbre sur un anneau est une structure algébrique sur un anneau commutatif unitaire A telle que A soit muni d'une structure de A-module et d'une structure d'anneau telle que la loi de multiplication de l'anneau soit A-bilinéaire.

[modifier] Définition formelle

Soit A un anneau (commutatif, unitaire). On dit que (B,+,\cdot,\times) est une A-algèbre lorsque :

\bullet\ (B,+,\cdot) est un A-module,
\bullet\ (B,+,\times) est un anneau,
\bullet\ \forall \lambda \in A, \forall x, y \in B, \lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Lorsque A est un corps commutatif, on parle alors d'algèbre sur un corps.

[modifier] Exemples

  • Si (M , +, \cdot) est un A-module et A un anneau commutatif unitaire, l'ensemble des endomorphismes de module sur M est une A-algèbre
  • Tout anneau (M,+,\cdot) est une \mathbb{Z}-algèbre pour la loi externe définie par
\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_+^*,\ n\cdot x= \underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}
\bullet\ n \cdot x=0\ \mathrm{pour}\ n=0
\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_-^*,\ n\cdot x= \underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}
  • L'ensemble des polynômes sur un anneau A commutatif unitaire est une A-algèbre.