Extension cyclotomique

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En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, les surcorps de la forme $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ où $ζ n$ est une racine primitive nème de l'unité ; cette appellation provient de ce que ces extensions sont des corps de décomposition des polynômes cyclotomiques.

Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de $\mathbb{Q}$ , ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes.

Les extensions cyclotomiques, peuvent aussi être définies pour d'autres corps :

pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète.
pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global.
pour les corps de fonctions ...

[modifier] Premières propriétés en vrac

L'anneau des entiers du corps $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ est l'anneau $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ .
Les nombres premiers qui ramifient dans l'extension $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ sont exactement les diviseurs de n.
L'extension $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ est de degré $φ(n)$ , où $φ$ désigne la fonction indicatrice d'Euler. Elle est galoisienne, de groupe de Galois $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ .
Le discriminant du corps $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ est : $(-1)^{\phi(n)/2}\frac{n^{\phi(n)}}{\prod_{p\mid n} p^{\phi(n)/(p-1)}}$
Le corps $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ est à multiplication complexe : c'est une extension quadratique totalement imaginaire du corps totalement réel $\mathbb{Q}(\zeta_n+\zeta_n^{-1})$ .

[modifier] Quelques questions arithmétiques

On considère le corps $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ , pour p un nombre premier. Alors, on peut montrer relativement facilement que l'équation :

x p + y p = z p

n'admet pas de solution (x, y, z) entières non triviales avec xyz premier à p sous l'hypothèse que p ne divise pas le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ . Un tel nombre premier est appelé nombre premier régulier. Ceci est souvent appelé premier cas du dernier théorème de Fermat, et a été étudié par Ernst Kummer. Kummer a notamment un critère portant sur les nombres de Bernoulli pour déterminer si un nombre premier est régulier. Il est actuellement connu qu'une infinité de nombre premiers ne sont pas réguliers, en revanche, on ne le sait pas s'il en existe une infinité de réguliers.

Plus précisément, on peut se demander pour quelles valeurs de n l'anneau $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ est principal, c'est-à-dire le nombre de classes est 1. Ceci est connu : les seuls nombres n tels que $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ a nombre de classes 1 sont 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84.

[modifier] Action de la conjugaison complexe

Le fait que le corps soit CM permet de faire agir $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sur les différents objets arithmétiques liés à $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ . En particulier, cela permet (voir représentation des groupes) de définir deux parties dans le nombre de classes : la partie + et la partie -. La conjecture de Vandiver s'énonce alors : « pour tout nombre premier p, p ne divise pas la partie + du nombre de classes ». En particulier, un nombre premier régulier vérifie la conjecture de Vandiver. Sous cette hypothèse, et une hypothèse supplémentaire sur les unités du sous-corps réel $\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$ , on peut montrer le deuxième cas du théorème de Fermat : $x p + y p = z p$ n'admet pas de solutions entières non triviales avec $p\nmid xy$ et $p\mid z$ .

La conjecture de Vandiver est à l'heure actuelle encore une conjecture. Elle a été vérifiée numériquement pour p<4000000.

[modifier] Extensions cyclotomiques infinies

Pour chaque corps de nombres, et chaque nombre premier p, une tour infinie d'extension peut être considérée : la $\mathbb{Z}_p$ -extension cyclotomique. Si p est impair, la $\mathbb{Z}_p$ -extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$ est la tour d'extensions $\mathbb{B}_n=\mathbb{Q}(\zeta_{p^n}+\zeta_{p^n}^{-1})$ , où $\zeta_{p^n}$ est une racine primitive pⁿème de l'unité. $\mathbb{B}_n$ peut encore être vu comme la sous-extension totalement réelle maximale de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})$ , ou encore, via la correspondance de Galois comme la sous-extension fixée par $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ , vu comme sous groupe de $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})/\mathbb{Q})\simeq\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}$ . Le corps $\mathbb{B}_n$ est ainsi une extension galoisienne de $\mathbb{Q}$ , et même cyclique d'ordre pⁿ ; par définition de la limite projective, la réunion des $\mathbb{B}_n$ est alors galoisienne sur $\mathbb{Q}$ de groupe de Galois $\mathbb{Z}_p$ , d'où l'appellation.