Nombre premier régulier

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En mathématiques, un nombre premier impair est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme x^p-1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer, pour une preuve du grand théorème de Fermat en 1847^[1], dans un article intitulé Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x^l+y^l=z^l für eine unendliche Anzahl Primzahlen l'.

Plusieurs formulations équivalentes sont possibles pour définir la régularité d'un nombre premier. L'une d'entre elles est que le nombre premier p ne doit pas être un diviseur du nombre de classes (c'est-à-dire du cardinal du groupe des classes) du corps cyclotomique $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ , où $ζ p$ est une racine primitive p-ème de l'unité. Une manière de tester l'irrégularité en pratique est donnée par la caractérisation suivante : le nombre premier p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli B_k, pour k prenant les valeurs paires entre 2 et p-3.

Les plus petits nombres premiers irréguliers sont 37, 59, 67, 101. Il est connu qu'il existe une infinité de nombres premiers irréguliers, mais l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte.

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si p est un nombre premier régulier, l'équation x^p+y^p=z^p n'a pas de solutions pour x, y et z entiers relatifs tous non divisibles par p. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

$\prod_{i=0}^{p-1}(x+\zeta_p^iy)=z^p,$

dans le corps $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ . Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux $(x+\zeta_p^iy)$ et l'idéal (z) élevé à la puissance p. Il peut être montré que les idéaux $(x+\zeta_p^iy)$ sont premiers entre eux, la théorie de la décomposition des idéaux premiers, et celle des anneaux de Dedekind permet d'assurer que chacun est la puissance p-ème d'un certain autre idéal A_i ; l'idéal A_i^p est principal, l'hypothèse que le nombre p est régulier (il n'est pas diviseur du nombre de classes de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ ), montre alors que l'idéal A_i lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme $x+\zeta_p^iy=\epsilon\alpha^p$ , pour une certaine unité $ε$ . Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.