Congruence d'Ankeny-Artin-Chowla

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En théorie des nombres, la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla est un résultat publié en 1951 par N.C. Ankeny, Emil Artin et S. Chowla. Elle concerne le nombre de classes h d'un corps quadratique réel de discriminant d > 0. Si l'unité fondamentale du corps est

\epsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d})\,

avec t et u entiers, elle exprime sous une autre forme

\frac{ht}{u} \equiv \pmod{p}\,

pour tout nombre premier p > 2 qui divise d. Dans le cas p > 3, il établit :

-2{mht \over u} \equiv \sum_{0 < k < d} {\chi(k) \over k}\lfloor {k/p} \rfloor \mod p

où m = \frac{d}{p}\,, \chi\, est le caractère de Dirichlet pour le corps quadratique. Pour p = 3, il existe un facteur (1 + m) multipliant le côté gauche de l'équation. Ici,

\lfloor x\rfloor

représente la fonction partie entière de x.

Un résultat relié est le suivant : si p \equiv 1 \mod 4\,, alors

{u \over t}h \equiv B_{\frac{(p-1)}{2}} \mod p

Où Bn est le n-ième nombre de Bernoulli.

Il existe certaines généralisations de ces résultats de bases dans les articles des auteurs.

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