Cent et savart

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En musique, le cent et le savart sont des unités de mesure fine des intervalles, basés tous deux sur l'échelle logarithmique.

Le savart fut défini au début du XIX^e siècle, mais de nos jours, c'est le cent qui est utilisé communément par les musiciens.

[modifier] Le savart

Son nom vient de Félix Savart (1791-1841), célèbre pour ses travaux sur l'acoustique.

Par définition, deux notes dont l'intervalle (f₁/f₂) est égal à 10 ont des hauteurs qui diffèrent de 1 000 savarts. On dira alors que deux sons de fréquences f₁ et f₂ sont séparés par N savarts = 1000 x log₁₀ de (f₁/f₂).

Le logarithme à base 10 de 2 valant 0,30103..., on vérifie facilement que l'octave vaut environ 301 savarts. Par approximation, on posera que l'octave est de 300 savarts (ce qui est la définition usuelle du savart) et le demi-ton tempéré — au nombre de 12 par octave — à 25 savarts. On peut donc dire que le cent équivaut à un quart de savart.

[modifier] Le cent

Le cent ( prononcer /sɛnt/ ) est l'unité de mesure fine des intervalles musicaux utilisée actuellement de façon universelle^{[réf. nécessaire]}.

Le cent est l'unité de graduation des accordeurs électroniques. Il permet essentiellement de mesurer l'écart entre la hauteur d'une note particulière et une référence donnée.
Pour donner un exemple, on l'utilise couramment pour préciser la hauteur de chaque note d'un tempérament, par rapport à leurs hauteurs dans le tempérament égal, référence du système de mesure:
l'octave comprenant 12 demi-tons, le demi-ton tempéré est égal à 100 cents. Le cent représente donc 1/4 de savart.

Dans l'échelle logarithmique 1 cent vaut donc 1/1200^e d'octave. La formule pour déterminer la valeur en cents de l'intervalle entre deux notes, de fréquences f1 et f2, est :

$c = 1200\log_2{y} \;\mathrm{cent} = 1200\frac{\log y}{\log 2}\;\mathrm{cent}$

$y = \frac{f1}{f2}$ .

L'intérêt de cette unité repose sur le fait que la gamme chromatique tempérée se compose de 12 demi-tons : il y a donc 1200 cents dans une octave et le demi-ton tempéré est égal à 100 cents. Le rapport de fréquence du cent est la puissance 1/1200 — la racine 1200^-ème — de 2 soit 1.0057779.

Cette définition logarithmique en fait une grandeur additive, ce qui permet qu'elle soit plus facile à manier mathématiquement, mais qui ne tient en fait aucun compte des relations entre la cause — fréquence — et l'effet — perception de hauteur —, relation qui est plus complexe que cela — cf. les développements de l'article acoustique musicale.