Échelle logarithmique
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Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite [Ox), particulièrement adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les applications. De plus elle permet de rendre accessible une large gamme de valeurs.
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[modifier] Définition de l'échelle logarithmique
L'échelle logarithmique d'une demi-droite [Ox) est déterminée par la donnée d'un point A de cette demi-droite. Pour tout point M de [Ox), les vecteurs 
et 
sont positivement colinéaires. Il existe donc un unique réel r tel que : 
. La coordonnée logarithmique de M est donnée par :
- logr
En particulier, la coordonnée logarithmique de A est log(1)=0. C'est l'origine du repère.
Dans cette formule, le logarithmique peut désigner :
- En mathématiques, Le logarithme népérien, primitive de 1/x.
- En statistiques, généralement le logarithme décimal.
- En informatique, le logarithme binaire.
Attention, à bien différencier ln et log10 et log2 qui permettent toutes de créer des échelles logarithmiques mais les calculs de pente seront différents.
[modifier] Illustrations avec une échelle logarithmique de base 10
[modifier] Construction d'une échelle logarithmique
Dans ce système de graduation, le nombre étiqueté n est placé à une distance log(n) de l'origine , le logarithme employé ici est le logarithme décimal
- La distance qui sépare 1 de 10 est la même que celle qui sépare 10 de 100 et celle qui sépare 0,1 de 1 car log(100) - log(10) = log(10) - log(1) = log(1) - log(0,1). Chacun de ces intervalles s'appelle un module.
- la distance qui sépare 1 de 2 est égale à celle qui sépare 10 de 20 mais est supérieure à celle qui sépare 2 de 3 car log(2) - log(1) = log(20) - log(10) > log(3) - log(2).
Cela induit une sorte d'irrégularité récurrente dans les graduations.
Exemple d'échelle logarithmique à trois modules
L'échelle logarithmique est une alternative à l'échelle linéaire. Elle peut s'avérer préférable pour deux raisons :
- Situation 1 : Lorsqu'on étudie un phénomène utilisant une gamme étendue de valeurs, l'échelle linéaire est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique qui espace les valeurs faibles et rapproche les valeurs fortes.
- Situation 2 : Certaines sensations suivent la loi de Weber-Fechner qui affirme qu'elles peuvent «croître comme le logarithme de l'excitant.» L'échelle logarithmique donne alors un reflet fidèle de la perception subjective.
[modifier] Comparaison d'une échelle linéaire et d'une échelle logarithmique
Le schéma ci-dessus permet de visualiser les deux types d'échelles :
- Pour l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante.
- Pour l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut 10 sont à distance constante.
