Tempérament mésotonique

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Mesure des intervalles

Sommaire

1 Introduction ; rappels
2 Définition
3 Calcul des intervalles tempérés
4 Comparaison Gammes / Tempéraments mésotoniques
- 4.1 Premier tableau
- 4.2 Second tableau
5 Utilisation des tempéraments mésotoniques
6 Voir aussi
- 6.1 Liens internes

[modifier] Introduction ; rappels

Cet article veut présenter en détail la théorie des tempéraments mésotoniques. Une présentation plus succincte en est faite dans l'article Gammes et tempéraments.

C'est également dans cette dernière page et ses annexes Gamme pythagoricienne et Gamme naturelle que se trouvent expliquées en détail les notions de base nécessaires à l'approche des différents tempéraments. Ces notions ne sont pas reprises dans ce qui suit, et notamment celles relatives aux calculs d’intervalles, au « cycle des quintes » et aux différents commas que l'on considère connues.

On rappellera simplement que l'octave, la quinte et la tierce sont les 3 intervalles de base de la musique occidentale (heptatonique), et tous les autres s'en déduisent :

la quarte est le renversement de la quinte ;
la seconde est l'intervalle entre la quarte et la quinte ;
la septième est le renversement de la seconde ;
la sixième est le renversement de la tierce.

Dans la gamme de Pythagore, la tierce n’a pas ce caractère fondamental : elle se rattache au ton – ou seconde – mais il s’agit d’une convention qui est propre à cette théorie car le rapport de fréquences qu’elle implique (81/64) n’est qu’une approximation du rapport « pur » qui est 5/4, soit 80/64.

Si l'on fait exception de la « quinte du loup », inférieure d'un comma pythagoricien à la quinte pure, la gamme de Pythagore se caractérise par des quintes pures, dont le rapport de fréquence est exactement égal à 3/2. Au contraire, les tierces (majeures) sont relativement fausses, supérieures à la tierce majeure pure (5/4) d'un comma syntonique.

[modifier] Définition

C’est le théoricien Pietro Aron qui aurait imaginé, en 1523 à Venise, le tempérament dit « mésotonique ».

Un tempérament mésotonique est un tempérament (c’est-à-dire une adaptation de la gamme de Pythagore) dans lequel on privilégie la pureté des tierces par rapport à la pureté des quintes avec une éventualité extrême où on fait jouer aux quintes et aux tierces un rôle opposé à celui qu'elles jouent dans la gamme de Pythagore : les tierces - sauf une - sont toutes pures, et les quintes sont toutes (légèrement !) fausses en conséquence. L'adjectif « mésotonique » ne provient pas de cette définition, mais d'une propriété qui s'en déduit, à savoir que tous les tons sont égaux à une même valeur moyenne (le préfixe méso vient du grec et signifie « au milieu »). Ces tempéraments se distinguent des gammes naturelles à tierces pures (Zarlino, par exemple) en ce que ces dernières se divisent en un ton majeur (9/8) et un ton mineur (10/9) qui diffèrent entre eux d'un comma syntonique.

Il n'y a pas un mais plusieurs tempéraments mésotoniques possibles, selon l'équilibrage donné à la pureté des tierces d'une part et des quintes d'autre part.

Cycle des quintes et commas

La symbolique du cycle des quintes - voir le schéma - nous montre que l'on peut considérer tous les intervalles de la gamme chromatique (à douze intervalles ou douze notes) comme contenant plusieurs quintes. Les tierces en contiennent quatre : ainsi, la tierce DO-MI (par exemple) contient les quatre quintes DO-SOL, SOL-RE, RE-LA et LA-MI. De la même façon, un ton contient deux quintes, par exemple le ton DO-RE contient les deux quintes DO-SOL et SOL-RE. On retrouve le fait qu'une tierce majeure contient exactement deux tons.

On peut rendre une tierce complètement pure tout en conservant égaux les deux tons qui la composent en réduisant les 4 quintes correspondantes d'un quart de comma syntonique chacune (puisque le comma syntonique est précisément l'intervalle entre la tierce pythagoricienne et la tierce pure). Si nous appliquons le procédé à l'octave entière (soit 3 tierces majeures ou 12 quintes) nous aurons réduit cette octave de trois commas syntoniques au total : comme la quinte du loup est trop petite d'un comma pythagoricien, nous lui rajouterons ces trois commas syntoniques pour conserver l'octave pure, c’est-à-dire qu'elle deviendra à présent trop grande de (trois commas syntoniques moins un comma pythagoricien) - valeur assez proche de deux commas syntoniques car on se rappelle que les deux types de commas ont des valeurs proches. Ainsi la quinte du loup reste fausse, mais cette fois par excès.

Z = comma zarlinien, Sch = schisma

Le tempérament mésotonique à quart de comma est celui qui rend les tierces majeures justes (sauf celles qui contiennent la quinte du loup). .

Mais cette solution peut être considérée comme excessive car en contrepartie, toutes les quintes sont devenues fausses. On peut alors imaginer de réduire les quintes d'une quantité moindre pour mieux équilibrer la répartition de la fausseté des intervalles, en divisant le comma par un autre chiffre situé de préférence entre 4 et 12. Les solutions les plus courantes sont celles à 1/6 et à 1/8 de comma. On doit noter que le tempérament mésotonique au 1/12 de comma arrive à rendre la quinte du loup quasiment égale aux autres ; elle n'en diffère que de la différence entre commas pythagoricien et syntonique, que l'on appelle le schisma. Mais on peut aussi remarquer qu'on est tellement proche du tempérament égal que conserver ce schisma résiduel n'a pas de sens. Dans la pratique, ce tempérament équivaut au tempérament égal.

[modifier] Calcul des intervalles tempérés

En notant « n » la fraction de comma syntonique utilisée, la correction appliquée à la quinte juste (pythagoricienne) est le facteur (80/81)^1/n. (On se souvient que 80 = 2⁴ x 5 et que 81 = 3⁴)

La quinte tempérée (Q_T) vaut 3/2 x (80/81)^1/n.

La « quinte du loup » (Q_L) vaut sept octaves diminuées de 11 quintes tempérées, soit 2⁷/(3/2 x (80/81)^11/n).

Prenons l'exemple du mésotonique à 1/4 de comma : Q_T) = 3/2 x (2⁴ x 5 / 3⁴)^1/4.ou
Q_T) = 3/2 x '(2 x 5^1/4) / 3) ou
Q_T) = 5^1/4 c’est-à-dire
Q_T) = 1,4953...

Q_L = 2⁷ / 5^11/4 c’est-à-dire
Q_L = 1,5312....

[modifier] Comparaison Gammes / Tempéraments mésotoniques

[modifier] Premier tableau

**Fréquences des notes dans 6 systèmes, Do=264 Hz**
Note	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée	Mésotonique 1/4 comma	Mésotonique 1/6 comma	Mésotonique 1/8 comma
DO	264,00	264,00	264,00	264,00	264,00	264,00
DO $\sharp$	275,00	281,92	279,70	275,86	277,86	278,87
RE	297,00	297,00	296,33	295,16	295,77	296,08
Mi $\flat$	316,80	312,89	313,95	309,99	310,95	311,43
MI	330,00	334,13	332,62	330,00	331,37	332,06
FA	352,00	352,00	352,40	350,91	351,27	351,45
FA $\sharp$	371,25	375,89	373,35	368,95	371,25	372,40
SOL	396,00	396,00	395,55	394,77	395,18	395,39
SOL $\sharp$	412,50	422,88	419,07	412,50	415,93	417,66
LA	440,00	445,50	443,99	441,37	442,74	443,43
Si $\flat$	475,20	469,33	470,39	466,43	467,39	467,88
SI	495,00	501,19	498,37	493,47	496,03	497,31
DO	528,00	528,00	528,00	528,00	528,00	528,00

NB Dans ce tableau :

La note DO commune à 264 Hz donne LA à 440 Hz (diapason actuel) dans la juste intonation
Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de DO
La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL # et RÉ #
Les 3 colonnes de droite correspondent aux tempéraments mésotoniques les plus utilisés

[modifier] Second tableau

**Intervalles importants dans 6 systèmes**
Note	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée	Mésotonique 1/4 comma	Mésotonique 1/6 comma	Mésotonique 1/8 comma
Quinte DO-SOL	1,500	1,500	1,498	1,495	1,497	1,498
Quinte du loup SOL $\sharp$ -Ré $\sharp$	1,536	1,480	1,498	1,531	1,514	1,505
Tierce DO-MI	1,250	1,266	1,260	1,250	1,255	1,258

NB Dans ce tableau, les intervalles sont calculés à partir du tableau précédent :

Le tempérament à 1/4 de comma donne des tierces justes et des quintes (y compris le loup) très légèrement fausses ; c'est le plus facile à accorder.
Le tempérament à 1/6 de comma présente le meilleur compromis, avec des quintes presque toutes équivalentes, des tierces et des quintes proches des intervalles justes
Le tempérament à 1/8 de comma se rapproche beaucoup du tempérament égal.

[modifier] Utilisation des tempéraments mésotoniques

Les tempéraments mésotoniques ont été utilisés pendant la fin de la Renaissance et pendant toute la période baroque.

De nos jours ils restent utilisés dans l’accord des instruments à clavier – principalement orgue et clavecin - destinés à l’interprétation de la musique « ancienne » - dans la pratique la musique écrite jusqu’à la moitié du XVIII^e siècle et ceci concurremment avec les tempéraments inégaux qui leur sont postérieurs.