Gammes et tempéraments

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Gammes et tempéraments

Mesure des intervalles

En musique, un tempérament est un système d'accord destiné à un instrument à sons fixes, construit par compromis dans l'intention d'atténuer certains inconvénients propres aux systèmes d'intonation pure. Les écarts introduits par les tempéraments ne sont directement perceptibles que par une oreille entraînée, mais ont un effet global sur la perception du morceau : les instruments accordés sur des tempéraments inégaux restituent la mélodie avec une atmosphère plus dure ou mélancolique, colorée par la tonalité dans laquelle ils jouent.

Pour une introduction généraliste au contexte, voir Gamme musicale.

Pour pouvoir jouer harmonieusement dans des tonalités transposées, les instruments à sons fixes sont accordés suivant des gammes qui s'écartent légèrement des intervalles harmoniques, par des ajustements qui se nomment des tempéraments. Le choix d'un système particulier de tempéraments, quand il permet d'améliorer la sonorité de l'instrument pour certaines tonalités, le fait au détriment d'autres. Ces arbitrages ont conduit à des systèmes variés.

Les principaux tempéraments utilisés sont :

pour la musique romantique et après, le tempérament égal.
pour la musique de la Renaissance, le tempérament mésotonique à tierces pures.

Entre ces deux périodes, ont été utilisés des tempéraments (dits irréguliers ou inégaux) que certains appellent improprement « tempéraments de transition ». En réalité, leurs caractéristiques sont spécifiques et adaptées à la musique de leur époque (changements de couleurs tonales autour d'une tonalité centrale). Le plus utilisé de nos jours dans la pratique est le tempérament de Vallotti (ou « Tartini-Vallotti »), en raison de son caractère peu marqué, et donc plus universel. Enfin citons pour la musique contemporaine, outre l'utilisation du tempérament égal habituel, l'invention de systèmes complexes ou innovants.

[modifier] Origine et nécessité des tempéraments

[modifier] Consonance et dissonance

Si les fréquences des sons et leurs intervalles relatifs sont des grandeurs quantifiables, les notions de consonance et de dissonance sont, quant à elles, subjectives et basées sur la perception auditive et la réflexion qu'on lui apporte : certains définissent la consonance de deux fréquences sonores comme le caractère « agréable » de leur émission simultanée ou immédiatement successive.

Mais, plus simplement, la consonance (=sonner avec) désigne la capacité de plusieurs sons à s'unir entre eux, liée à la notion de pureté d'un intervalle. À ce sujet, il ne faut pas confondre pureté (notion objective) et justesse (notion plus subjective) d'un intervalle. La confusion entre ces deux termes rend parfois difficile une bonne compréhension de certains textes anciens (par exemple chez Rameau).

Philosophes, acousticiens, physiciens ou mathématiciens des XVII^e et XVIII^e siècles ont tenté de chercher une explication rationnelle au caractère agréable ou désagréable d'un accord ou d'un autre, avec des succès divers. Pour certains^{[réf. nécessaire]}, cette recherche paraît aussi vaine que de tenter d'expliquer pourquoi certains aiment mieux le jaune que le bleu. Ils pensent que la culture joue de façon importante dans cette appréciation (certaines oreilles comtemporaines, vivant dans l'environnement de la gamme tempérée, peuvent être surprises lorsqu'elles entendent pour la première fois une tierce pure). Pourtant, les anciens grecs n'admettaient comme consonants que les intervalles d'octave et de quinte, puis le Moyen Âge et la Renaissance y ont admis progressivement les tierces avant que la complexité croissante de la musique nous porte à considérer comme consonants des intervalles qui auraient fait grincer des dents Palestrina et ses contemporains. Les intervalles consonants sont donc arrivés les uns après les autres dans l'ordre harmonique (rang 2 : octave, rang 3 : quinte et quarte, rang 5 : tierces, sixtes).

Les musiciens et les amateurs de musique s'accordent généralement à trouver consonants :

un son fondamental et l'un de ses premiers harmoniques ;
deux sons qui sont en rapport de fréquence rationnelle simple (par exemple : 3/2, 4/3, 5/3, etc.)

C'est sur la base de ce consensus qu'ont été élaborées la gamme heptatonique occidentale et ses différentes variantes.

[modifier] Transpositions et accords

Pour « sonner juste » à l'oreille, le musicien est naturellement conduit à interpréter une pièce musicale en utilisant une gamme naturelle, où les notes sont en relations harmoniques les unes avec les autres. Mais quand on accorde un instrument à sons fixe (piano, flûte,...) de cette manière, il ne peut jouer correctement que dans sa tonalité de départ. Il n'est pas possible de réaliser un instrument à sons fixes qui sonne juste dans toutes les transpositions, et pour pouvoir facilement transposer, il faut accepter de désaccorder un peu l'instrument: ces écarts sont les tempéraments apportés à la gamme.

Cette question d'esthétique musicale se traduit assez directement en termes mathématiques, du fait que les sons harmoniquement consonnants sont dans un rapport de fréquence s'exprimant par une fraction simple (voir Acoustique musicale). Il y a plusieurs aspects à la question, mais les deux principaux problèmes numériques (qui se reflètent dans la pratique musicale) sont ceux-ci:

En partant d'une note donnée, douze quintes diffèrent quelque peu de sept octaves. L'écart (de l'ordre d'un huitième de ton) est le comma pythagoricien ou ditonique.
En partant d'une note donnée, quatre quintes successives ne donnent pas du tout une tierce pure. (ex: la succession DO-SOL-RÉ-LA-MI donne un MI qui est très différent de celui obtenu par une tierce pure). L'écart est le comma syntonique.

La quasi-équivalence entre ces deux commas est un fait mathematique remarquable. (23,5 cents pour le comma pythagoricien et 21,5 cents pour le comma syntonique). De fait, la plupart des tempéraments inventés au cours de l'histoire se chargent de repartir essenciellement le comma pythagoricien dans le cycle des quintes, mais, pour autant, l'essenciel de ces tempéraments travaillent à une plus grande justesse des tierces (dont la fausseté s'illustre par le comma syntonique) tout en gardant les quintes acceptables. (La difference entre ces deux commas est le schisma, trés petit intervalle de 2 cents, dont on tient parfois compte dans la réalisation de certains tempéraments au clavecin.)

Les tempéraments sont devenus nécessaires au fur et à mesure du développement de la musique, qui jouait de plus en plus sur des transpositions, des modulations, et des échelles chromatiques, parce qu'aucune gamme théorique n'était utilisable en pratique:

elles incluaient toutes au moins un intervalle désagréable, car sonnant faux ; le tempérament ne le rend pas juste, mais praticable.
elles rendaient difficile, désagréable ou impossible la transposition ; seul le tempérament égal permet n'importe quelle transposition sans aucune coloration (utile pour l'accompagnement des chanteurs) mais ceci au prix d'un « aménagement » de la justesse qui n'a pas toujours séduit les musiciens.
elles rendaient difficile, désagréable ou impossible la modulation. Selon les tempéraments, elle devient plus ou moins praticable, en fonction du tempérament choisi, mais aussi des tonalités de départ et d'arrivée. Il convient de préciser que nombre de tempéraments anciens permettent toutes les modulations que l'on veut, mais avec une forte coloration de la justesse sur les tonalités éloignées, coloration que certaines oreilles modernes ne considèrent plus acceptables, à cause de l'habitude du tempérament égal qui ne fait aucune différence entre toutes les tonalités.

De façon annexe, les tempéraments ont souvent eu pour but complémentaire de faire coïncider les dièses et les bémols, afin d'améliorer la « jouabilité » des instruments. Il faut toutefois noter que cette préoccupation n'a pas toujours prévalu, et que des instruments à clavier qui disposaient de touches distinctes pour les deux altérations ont été construits avant le XVIII^e siècle.

[modifier] Le tempérament

La pratique montre et la théorie démontre qu'il n'est pas possible d'accorder un instrument à sons fixes sur plusieurs octaves en ayant à la fois tous les intervalles d'octaves, de quintes et de tierces purs. Si ceux-ci l'étaient, les intervalles de seconde, de quarte, de sixte et de septième qui en sont déduits le seraient aussi.

Cette constatation a imposé de trouver des compromis pour pouvoir pratiquer la musique sur de tels instruments. On appelle « tempérament » de tels compromis qui peuvent tendre :

à éliminer autant que possible l'effet sensible des commas, en plaçant ou en répartissant ceux-ci dans des intervalles inusités ;
à simplifier les échelles musicales en confondant les notes enharmoniques ;
à permettre ou faciliter les transpositions et modulations.

Le nombre de tempéraments qui ont été inventés pendant la Renaissance et la période baroque est considérable ; ils peuvent se répartir entre les catégories suivantes, selon les principes mis en œuvre (mais d'autres critères de répartition sont possibles) :

les tempéraments mésotoniques ;
les tempérament inégaux ;
le tempérament égal.

Signalons pour mémoire les tempéraments par division multiple, qui ont exploré la division de l'octave par un nombre d'intervalles différent de douze pour tenter d'améliorer la pureté de certains intervalles (avec un intérêt nettement plus théorique qu'esthétique).

[modifier] Importance des tempéraments

Marc Texier illustre ainsi l'importance des tempéraments, dans son essai Une nouvelle frontière de la musique :

«Si pour l'essentiel de la musique médiévale, qui est vocale, la fausseté des tierces n'est pas un problème majeur, car bien sûr les chanteurs prennent instinctivement des libertés par rapport au carcan du tempérament en usage; les limites du tempérament pythagoricien^[1] ont eu pour la musique instrumentale, et tout particulièrement la musique pour clavier, une incidence remarquable, retardant de près de trois siècles l'éclosion de la polyphonie sur ces instruments par rapport à la polyphonie vocale. Ce n'est qu'à partir du moment où de nouveaux tempéraments, multipliant les tierces justes, ont été utilisés que la littérature pour clavier a pu s'épanouir, à deux voix au XIVe siècle, à trois au XVe, alors que la musique vocale était à quatre parties dès la fin du XIIe.

Le choix d'un tempérament n'est donc en rien négligeable, il induit pour des siècles l'évolution de la musique.» ^[2]

[modifier] Les premières échelles théoriques

[modifier] Gamme pythagoricienne

Cycle des quintes et comma pythagoricien

La gamme « pythagoricienne » ou de Pythagore est la plus ancienne théorie musicale des gammes musicales occidentales. Elle remonte aux mathématiciens grecs de l'Antiquité: elle tire son nom de Pythagore, le philosophe connu en géométrie pour son célèbre théorème.

Cette gamme est construite uniquement sur des quintes justes (rapport de fréquence de 3/2) et des octaves. Pour comprendre le principe de cette gamme, il suffit de se placer devant un piano et de partir du do le plus à gauche et d'avancer de quinte en quinte (il suffit de se déplacer de 7 touches en comptant les touches noires). On obtient successivement un sol, un ré , un la, un mi, un si, un fa♯, un do♯, un sol♯, un ré♯ , un la♯, un fa et ...un do ! Au bout de 12 quintes, on retombe sur un do situé 7 octaves plus loin. Ce qui fait dire que 12 quintes valent 7 octaves. La gamme pythagoricienne est la succession des notes obtenues par ce procédé et qui se trouvent diviser l'octave en intervalles grossièrement équivalents. Les notes non diésées sont au nombre de sept : la gamme diatonique est une gamme « heptatonique ». Sur un piano, elles seraient produites par les touches blanches. Quant à la gamme chromatique, composée de toutes les notes obtenues sauf celles qui font presque doublon (MI# et SI#), elle possède douze notes et douze intervalles élémentaires. Les cinq notes complémentaires seraient, sur un piano, produites par les touches noires.

Placement de la quinte du loup

Mais le piano triche.

En avançant de quinte en quinte, on ne peut pas tomber sur 7 octaves à moins de raccourcir la dernière quinte dite « quinte du loup ». En effet, 12 quintes valent 3¹²/2¹²=129.74... et 7 octaves 2⁷=128. Après avoir monté de douze quintes (multiplication de la fréquence par 3/2) et baissé le résultat de sept octaves (division par deux), la fréquence initiale a été multipliée par (3/2)^12 = 129.74... et divisée par 2^7=128, soit globalement par 1.0136: le résultat s'écarte de 1.36% de la fréquence initiale, soit pratiquement un huitième de ton (23.46 cent, ce qui est la définition du comma pythagoricien). La différence entre SI# et DO, très minime mais audible, s'appelle le comma pythagoricien et son existence est communément traduite en ce que « le cycle des quintes » (voir figure) ne se referme pas.

On est obligé d'introduire un intervalle de quinte légèrement faux (la « Quinte du loup ») pour maintenir des octaves pures, ce qui est souvent considéré par les musiciens comme nécessaire. Dans la pratique on s'arrangerait pour reporter la quinte du loup dans un intervalle peu usité, souvent MI♭-SOL♯.

Une gamme particulière peut se définir par ses écarts (en plus ou en moins) par rapport au tempérament égal. Ainsi, la gamme de Pythagore supposée établie par rapport à une tonique "Do") sera définie par:

Note	Do	Do#/Réb	Ré	Ré#/Mib	Mi	Fa	Fa#/Solb	Sol	Sol#/Lab	La	La#/Sib	Si
Rapport	1/1	2^8/3^5	9/8	2^5/3^3	3^4/2^6	4/3	3^6/2^9 ou 2^10/3^6	3/2	2^7/3^4	27/16	16/9	3^5/2^7
Écart	0	+9.78	-3.91	+5.87	-7.82	+1.96	± 11.73	-1.96	+7.82	-5.87	+3.91	-9.78

On voit facilement que l'écart entre la gamme de Pythagore et la gamme tempérée est faible: le plus gros écart est de 12 cents (un demi-comma), ce qui est pratiquement inaudible pour une oreille non avertie.

La gamme pythagoricienne, fondée sur des intervalles de quinte pure, présente donc plusieurs défauts :

le « cycle des quintes » ne se referme pas, c'est-à-dire que douze quintes ne correspondent pas exactement à sept octaves (ce que traduit l'existence du comma pythagoricien et de la « quinte du loup ») ;
les tierces majeures qu'elle engendre ne sont pas parfaitement pures ce que traduit l'existence du « comma syntonique », intervalle de hauteur entre la tierce majeure pure (5/4) et la tierce pythagoricienne (81/64) qui est sensiblement plus haute. Le comma syntonique est égal à 81/80 ou 3⁴/(5 x 2⁴).

Article détaillé : gamme pythagoricienne.

C'est pour corriger ces défauts de la gamme pythagoricienne que des constructions à tempéraments ont progressivement été proposés.

[modifier] Gamme de Zarlino

Gioseffo Zarlino (1517–1590) fut le premier à reconnaitre l'importance de la tierce majeure comme intervalle fondateur de l'harmonie. La juste intonation qu'il conceptualise (voir Zarlino) est induite par les imperfections constatées dans la gamme pythagoricienne et le souhait d'avoir le maximum d'intervalles sonnant juste dans un système à douze intervalles par octave.

Il élabore une gamme naturelle en reconnaissant donc une place importante à l'intervalle de tierce « pure », et plus généralement aux intervalles purs, c'est à dire correspondant à un rapport de fréquence s'exprimant par une fraction simple.

La tierce est basée sur des harmoniques qui multiplient ou divisent la fréquence par cinq, au lieu d'un facteur trois comme dans la gamme de Pythagore. Entre la quarte et le ton majeur, l'introduction de facteurs "cinq" permet de travailler sur les rapports 5/4 (=1,25) et 6/5 (= 1,2). Ces deux rapports sont particulièrement simples, acoustiquement ils sonnent bien avec la fondamentale. Enfin, puisque (5/4) x (6/5) = 6/4 = 3/2, on voit que leur addition donne une quinte. Ces intervalles, respectivement nommés « tierce majeure » et « tierce mineure » vont jouer un rôle de premier plan, avec l'octave et la quinte, dans la construction des gammes naturelles, qui ont de nombreuses variantes.

Pour construire la gamme de Zarlino, nous allons exprimer les intervalles recherchés en fonction « pythagoricienne » de la tierce majeure puis appliquerons la formule obtenue à la tierce majeure « pure » (5/4). Nous disposons déjà des intervalles, notes et rapports suivants

Fondamentale = DO = 1
Ton majeur = RÉ = 9/8 (deux quintes pures transposées d’une octave : 3/2 × 3/2 ÷ 2)
Tierce mineure = MI♭ = 6/5
Tierce majeure = MI = 5/4 (contrairement à 81/64, soit 4 quintes, selon Pythagore)
Quarte = FA = 4/3 (comme pour Pythagore)
Quinte = SOL = 3/2 (comme pour Pythagore)
Sixte (majeure) = La = 5/3 (addition d'une tierce majeure et d'une quarte : 5/4 x 4/3 = 5/3 - contrairement à 27/16 selon Pythagore)
Septième (majeure) = SI = 15/8 (addition d'une tierce majeure et d'une quinte: 5/4 x 3/2 = 15/8, contrairement à 243/128 selon Pythagore)
Octave = DO = 2.

Les autres intervalles se calculent de façon analogue, en déterminant, selon la gamme de Pythagore, une formule à base d'additions ou soustractions de tierces (T), quintes (Q) et octaves (O) donnant le résultat correct. Comme le montre le tableau ci-dessous, les fractions des intervalles purs sont relativement simples, sauf la seconde mineure (16/15) et son symétrique la septième (15/8), et surtout le triton (45/32).

Par rapport à la gamme tempérée, les écarts de la gamme de Zarlino sont (en supposant la gamme accordée sur une tonique de Do):

Note	Do	Reb	Ré	Mib	Mi	Fa	Fa#/Solb	Sol	Lab	La	Sib	Si
Rapport	1/1	16/15	9/8	6/5	5/4	4/3	45/32 ou 64/45	3/2	8/5	5/3	9/5	15/8
Écart	0	+11.73	-3.91	+15.64	-13.69	+1.96	± 9.78	-1.96	+13.69	-15.64	+17.6	-11.73

On voit que les écarts par rapport à la gamme tempérée sont assez importants sur les tierces et sixtes (de l'ordre de 14 cent), ainsi que sur la septième (17 cent). On peut en fait lire ces écarts dans l'autre sens: par rapport à une gamme formée d'intervalle purs, c'est le degré de fausseté perceptible sur la gamme tempérée. Ces intervalles commencent à être audibles pour une oreille exercée.

Après avoir déterminé ces intervalles, on peut vérifier les valeurs des différentes tierces et quintes de la gamme de Zarlino :

les tierces sont toutes justes (rapport de fréquences = 5/4) sauf la tierce SOL♭-SI♭ dont le rapport est 81/64, légèrement supérieur ;
les quintes sont justes (rapport de fréquences = 3/2) sauf trois d'entre elles (rapport 40/27) qui ne le sont pas (valeur inférieure) : RE-LA, FA♯-DO♯, SI♭-FA.

La gamme de Zarlino est donc particulièrement pure (pour la mélodie et les accords), mais elle est difficilement transposable. Il faut se souvenir que dans cette gamme, il y a un ton majeur et un ton mineur de valeurs différentes. On appelle comma zarlinien l'intervalle entre ces deux tons : il vaut 81/80 soit 1,0125 ; c'est le comma syntonique. Dans la gamme de Zarlino, la succession des 7 intervalles constituant une octave est la suivante :

ton majeur
ton mineur
1/2 ton diatonique
ton majeur
ton mineur
ton majeur
1/2 ton diatonique

Ce qui précède montre que la gamme de Zarlino ne peut être utilisée dans la pratique lorsqu'on doit transposer ou moduler.

Prenons l'exemple très simple de la transposition de do majeur à sol majeur. L'intervalle DO-RE dans la première tonalité a pour correspondant l'intervalle SOL-LA dans la seconde, or DO-RE est un ton majeur, et SOL-LA un ton mineur.

Autre exemple: dans une pièce jouée sur la gamme de Zarlino de Do, mais transposée en Mi, l'écart de la tierce majeure sera de +27.38 (l'écart de Lab moins celui de Mi) par rapport à la gamme tempérée, au lieu du -13.69 attendu, et donc au total de 41.07 cent par rapport à la tierce pure: près d'un quart de ton!

La gamme de Zarlino n'est pas la seule gamme « naturelle » envisageable : par exemple, Zarlino n'a pas inclus, dans sa gamme, de rapports harmoniques comportant le chiffre 7 (premier nombre premier après 2, 3 et 5), car à son époque, on commencait seulement à s'intéresser physiquement à la justesse des tierces. Pour exemple, un FA♯ fondé sur le rapport 7/5 (soit 1.4) est un rapport harmonique beaucoup plus simple que les rapports approchants, déduits de Pythagore (729/512) et de Zarlino (45/32). Par la suite, d'autres théoriciens ont proposé leur propre système, sans qu'aucun puisse vraiment présenter d'avantages décisifs.

Article détaillé : gamme naturelle.

Article détaillé : Gioseffo Zarlino.

[modifier] Tempéraments réguliers ou irréguliers

On parle de tempéraments réguliers lorsque les corrections apportées aux intervalles s'appliquent également à tous, aucun intervalle particulier n'étant musicalement juste : ce sont donc les tempéraments mésotoniques et le tempérament égal (qui est un mésotonique particulier). Les tempéraments inégaux sont dits « irréguliers ».

[modifier] Les tempéraments mésotoniques

L'idée des tempéraments mésotoniques va être de diminuer toutes les quintes d'une certaine fraction du comma syntonique, de façon à rendre plus pures les tierces majeures résultantes sans pour autant trop fausser les quintes (l'écart résiduel venant du comma pythagoricien reste toujours concentré sur la quinte du loup).

Lors de la construction de la gamme pythagoricienne, on obtient la première tierce majeure (DO-MI) par quatre montées successives de quintes : DO-SOL, puis SOL-RE, puis RE-LA, enfin LA-MI. Ce Mi pythagoricien diffère du Mi de la tierce pure d'un comma syntonique (ou comma zarlinien). Si donc on veut un tempérament mésotonique à tierce majeure pure, il suffit de diviser le comma syntonique en 4, c'est-à-dire corriger la fraction 3/2 (la quinte) du coefficient (3⁴/(5 x 2⁴))^1/4 ou 3 / (2 x 5^1/4), et ajouter la fraction correspondante à chaque quinte dans la progression du cycle des quintes : les quintes seront un peu fausses, mais les tierces seront justes.

Puisque la correction s'applique uniformément à toutes les quintes, les tierces majeures engendrées restent toujours égales à deux tons majeurs (les proportions sont conservées) ce qui n'est pas le cas avec les tempéraments inégaux. C'est cette propriété du « ton moyen » qui est à l'origine du terme « mésotonique » - on utilise aussi l'expression « tempérament régulier »·

Si nous appliquons cette correction au cycle complet des quintes (soit 12 quintes) nous aurons réduit l'octave de trois commas syntoniques au total (douze quarts de commas) : comme la quinte du loup est trop petite d'un comma pythagoricien, nous lui rajouterons ces trois commas syntoniques pour conserver l'octave pure, c’est-à-dire qu'elle deviendra à présent trop grande de (trois commas syntoniques moins un comma pythagoricien) - valeur assez proche de deux commas syntoniques car on se rappelle que les deux types de commas ont des valeurs proches. Ainsi la quinte du loup reste fausse dans le tempérament mésotonique à tierce pures, mais cette fois par excès.

Le tempérament mésotonique à quart de comma syntonique est le plus utilisé. S'il rend les tierces plus pures, il fausse légèrement les quintes (ainsi d'ailleurs que les quartes), et ceci n'est pas indifférent car l'oreille est plus sensible à la pureté des quintes qu'à celle des tierces.

D'autres tempéraments mésotoniques présentent un meilleur compromis en répartissant la « fausseté » de façon plus équilibrée entre tierces et quintes : c'est le cas du tempérament à 1/6 ou 1/8 de comma. A l'extrême, le tempérament à douzième de comma fait disparaître la quinte du loup, et est donc pratiquement équivalent à la gamme au tempérament égal.

Les tempéraments mésotoniques sont assez pratiqués dans la musique baroque, ils permettent des modulations acceptables dans les tons voisins de la tonique.

Article détaillé : Tempérament mésotonique.

[modifier] Les tempéraments inégaux

L'idée des tempéraments inégaux vient du fait que, dans la pratique musicale, et spécialement à l'époque baroque avant que ne se généralise l'emploi de la gamme au tempérament égal, tous les intervalles de quinte et de tierce majeure ne sont pas également usités.

On va donc essayer de réduire les effets indésirables du comma syntonique, voire du comma pythagoricien, en les divisant de telle manière qu'on améliore la qualité de certains intervalles de quintes (donc de tierces), les intervalles les moins pratiqués pouvant se satisfaire de consonances moins bonnes.

À propos du clavecin et du clavicorde, C.P.E. Bach écrit : « Les deux sortes d'instruments doivent être bien tempérés : en accordant les quartes et les quintes, avec les tierces majeures et mineures et les accords complets pour preuves, il faut affaiblir un tant soit peu la justesse des quintes, en sorte que l'oreille la perçoive à peine et que les vingt quatre tons soient tous utilisables. »

Les possibilités sont extrêmement nombreuses et cette étude a mobilisé un grand nombre de théoriciens aux XVII^e et XVIII^e siècles, chacun proposant sa propre solution censée représenter le meilleur compromis : Werckmeister, Chaumont, Kirnberger, Rameau, Vallotti etc.

Dans le cadre d'un tempérament inégal, toutes les quintes (et conséquemment toutes les tierces) n'ont pas la même valeur en termes de rapports de fréquences : chaque tonalité possédait donc une « couleur sonore » particulière. Joie, tristesse, sérénité, mélancolie, etc. s'expriment dans le choix de tonalités censées mieux les représenter : ce critère est mis en pratique par les grands compositeurs tels que Bach et Couperin qui y attachent beaucoup d'importance. Le choix du tempérament utilisé peut, à l'inverse, être déterminé par la tonalité choisie et les modulations envisagées au cours d'une même pièce, certains étant mieux appropriés que d'autres.

Ces préoccupations ont complètement disparu depuis que la gamme tempérée a été adoptée de façon universelle par les compositeurs. Mais les tempéraments inégaux sont particulièrement adaptés à l'exécution du répertoire baroque, et les ensembles spécialisés les pratiquent couramment.

Article détaillé : Tempérament inégal.

[modifier] Le tempérament égal (gamme tempérée)

La gamme au tempérament égal, ou simplement tempérament égal, ou encore gamme tempérée (appellation contestable car toutes les gammes aux tempérament inégaux sont tempérées) est de nos jours utilisé de façon presque universelle dans la musique occidentale (à noter, cependant, que le piano sort de l'échelle du tempérament égal dans l'aigu : voir Inharmonicité du piano). Seuls les musiciens jouant sur des instruments dits « anciens » utilisent d'autres systèmes, selon le style en cours à l'époque de la composition.

Le tempérament égal, qui s'est imposé avec le changement de goût à l'époque de la Révolution française (voir Inégalités dans la musique baroque) consiste, pour ainsi dire, à « trancher le nœud gordien » des inconvénients de tous les autres systèmes qui tentaient des compromis entre justesse de certains intervalles, fausseté pas trop marquée des autres, possibilités de transposition et/ou de modulation. Connu depuis longtemps (déjà mentionné au XVI^e siècle, par Mersenne et par Praetorius, à propos des violes), mais peu utilisé alors, il consiste tout simplement à diviser l'octave en douze intervalles chromatiques tous égaux.

Cette idée simple permet toutes les transpositions et toutes les modulations imaginables, puisque toutes les notes sont équivalentes quand on les considère comme toniques. Elle présente deux inconvénient. Le premier, qui est de taille, explique la réticence des musiciens à l'adopter avant la période dite « classique » : à l'exception des octaves, tous les intervalles sont légèrement faux. Toutefois, hormis certains cas particuliers concernant principalement des tierces majeures (voir : Justesse des tierces), les écarts sont suffisamment faibles pour être admissibles. Et l'habitude aidant, puisque de nos jours quasiment toutes les musiques que nous entendons l'utilisent, cette faible dissonance ne choque personne, et c'est au contraire les anciens tempéraments qui surprennent notre oreille lorsque nous les expérimentons pour la première fois. Le second inconvénient est que, dans le tempérament égal, toutes les tonalités ont la même couleur et ce n'est pas forcément ce que les musiciens recherchent. Chez Mozart, par exemple, le choix des tonalités conserve une grande importance, y compris dans toute sa musique de piano, ce qui va à l'encontre d'un système dans lequel toutes les tonalités sont strictement équivalentes.

Si l'on se rappelle qu'additionner des intervalles revient à effectuer des multiplications de rapports de fréquence, on voit que l'octave égale le demi-ton chromatique élevé à la puissance douze ou encore que le demi-ton chromatique vaut $\sqrt[12]{2}$ .

Article détaillé : Gamme tempérée.

La gamme tempérée présente l'avantage d'être totalement "neutre" par rapport aux problèmes de transpositions, qui précisément justifient la présence de tempéraments. Les écarts des différentes gammes par rapport à la gamme tempérée permettent donc d'apprécier comment un tempérament particulier présentera des irrégularités dans ses différentes transpositions.

[modifier] Tableaux comparatifs

Comparaison des fréquences de notes de la gamme chromatique dans différents systèmes

[modifier] Premier tableau : même LA

**Fréquences des notes dans 3 systèmes, LA=440 Hz**
Note	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
DO	264,00	260,74	261,63
DO♯	275,00	278,44	277,18
RE	297,00	293,33	293,66
MI♭	316,80	309,03	311,13
MI	330,00	330,00	329,63
FA	352,00	347,65	349,23
FA♯	371,25	371,25	369,99
SOL	396,00	391,11	392,00
SOL♯	412,50	417,66	415,30
LA	440,00	440,00	440,00
SI♭	475,20	463,54	466,16
SI	495,00	495,00	493,88
DO	528,00	521,48	523,25

Dans ce tableau :

La note LA est commune à 440 Hz (diapason actuel)
Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de DO
La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL♯ et MI♭.

[modifier] Second tableau : même DO

**Fréquences des notes dans 3 systèmes, Do=264 Hz**
Note	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
DO	264,00	264,00	264,00
DO♯	275,00	281,92	279,70
RE	297,00	297,00	296,33
MI♭	316,80	312,89	313,95
MI	330,00	334,13	332,62
FA	352,00	352,00	352,40
FA♯	371,25	375,89	373,35
SOL	396,00	396,00	395,55
SOL♯	412,50	422,88	419,07
LA	440,00	445,50	443,99
SI♭	475,20	469,33	470,39
SI	495,00	501,19	498,37
DO	528,00	528,00	528,00

Dans ce tableau :

La note DO commune à 264 Hz donne LA à 440 Hz (diapason actuel) dans la juste intonation
Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de DO
La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL♯ et MI♭.

[modifier] Troisième tableau

**Intervalles importants dans 3 systèmes**
Intervalle	Juste intonation	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
Quinte DO-SOL	1,500	1,500	1,498
Loup SOL#-MIb	1,536	1,480	1,498
Tierce majeure DO-MI	1,250	1,266	1,260

Dans ce tableau, les intervalles sont calculés à partir du tableau précédent :

Dans la « juste intonation », la quinte et la tierce sont justes, la quinte du loup est horriblement fausse
Dans la gamme de Pythagore la tierce et la quinte du loup sont légèrement fausses
Dans la gamme tempérée, il n'y a pas de quinte du loup ; les quintes sont bonnes, et les tierces un peu trop grandes

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles en relation

Introduction à la justesse en musique
Gammes et tempéraments

Intonation musicale
Quinte du Loup

[modifier] Articles annexes détaillés

[modifier] Autres articles

[modifier] Bibliographie

Devie Dominique, Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
Jean Lattard, Intervalles, échelles, tempéraments et accordage musicaux, éditions l'Harmattan, juillet 2003. ISBN 2747547477. Le lien suivant permet de consulter librement l'ouvrage de Jean Lattard : Intervalles, échelles, tempéraments et accordage musicaux.

[modifier] Liens externes

Marc Texier, Les tempéraments, échelles sonores, micro-intervalles, Une nouvelle frontière de la musique http://homestudio.thing.net/revue/content/texier.htm (article bien écrit éclaircissant l'histoire des tempéraments)

Olivier Bettens, « Intonation juste » à la Renaissance : idéal ou utopie ? Esquisse d'un modèle fondé sur la théorie de Zarlino (article très long et très bien argumenté qui montre que les notions de gammes et de justesse ne sont pas toujours claires même pour les musicologues historiques! Et forme une bonne introduction à la question du tempérament, avec un petit logiciel gratuit d'expériences à télécharger)

messensib (pseudo), Le tempérament Musical. Partie 1 et Le tempérament Musical. Partie 2 (Articles sur macmusic.org)

(en) Calculateur et analyseur de tempéraments - le site propose une feuille de calcul à télécharger gratuitement, permettant tous les calculs de tempéraments. ICI

(fr) Plus de renseignements sur l'Audiolexic, le Wiki consacré à l'Audio et à la Musique

Xavier Hubaut, Pourquoi n'ai-je jamais rien compris au solfège ? Comparaison de diverses définitions et constructions de gammes (pentatonique, dodécatoniques Pythagore, Zarlino, tempérée, et autres)

[modifier] Bibliographie et sources

Patrice Bailhache : Une histoire de l'acoustique musicale - CNRS Editions Paris 2001 - ISBN 2-271-05840-6
Pierre-Yves Asselin : Musique et tempéraments (Québec), Editions Jobert, 2000 - ISBN 2-905-335-00-9
Dominique Devie : Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
Jean Lattard, Intervalles, échelles, tempéraments et accordage musicaux, éditions l'Harmattan, juillet 2003. ISBN 2747547477. Le lien suivant permet de consulter librement l'ouvrage de Jean Lattard : Intervalles, échelles, tempéraments et accordage musicaux.
Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XX^e siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, N°2 (1965), pp. 241-243 - doi:10.2307/927346
Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.

[modifier] notes

↑ l'expression "tempérament pythagoricien" est un abus de langage assez frequent, mais la gamme ou échelle pythagoricienne n'est pas, à proprement parlé, un "tempérament".
↑ homestudio - revue audiolab