Utilisateur:84kg/Bac à sable

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Sommaire

[modifier] Linares 2006

En 2006, s'est déroulé la 23ème édition du tournoi d'Echecs de la ville de Linares.

Ce tournoi s'est déroulé du 18 Février 2006 au 11 Mars 2006.

Pour la première fois de son histoire, une partie de la compétition s'est déroulée hors des murs de la ville de Linares. En effet, la phase aller (les 7 premières rondes du 18 Février 2006 au 26 Février 2006)eut lieu à Morelia au Mexique.

Ce tournoi s'est déroulé selon le système de double ronde et la moyenne Elo des participants fut de 2731,75 ce qui en fit un tournoi de catégorie 20.

Le Champion du Monde Veselin Topálov a eu un pauvre commencement et son désir incontrôlé de gagner, il(elle) l'avait fait risquer de plus, en compromettant et en perdant les départs(parties) devant Radjábov, Vallejo et Svídler.

Peter Lékó et Peter Svídler ont montré un meilleur point de départ et ont nourri à la tête durant les rondes initiales, mais pour la septième ronde Levon Aronian marchait déjà sur les talons.

Après avoir fini la première dépêche Peter Lékó libérait avec 5 de 7 points, suivi par Levon Aronian avec 4 un 1/2 et Peter Svídler avec 4. La surprise consistait en ce que seul Veselin Topálov avait additionné 2 un 1/2 des points et occupait la septième position, seulement devant Etienne Bacrot.

Ainsi les 8 caractères du panneau laissaient des terres mexicaines, pour continuer le tournoi dans les Linières, l'Espagne. La compétition reprendrait le 3 mars.

La deuxième partie du tournoi a joué dans les Linières, l'Espagne; comme c'est déjà une tradition dans l'Hôtel Aníbal, du 3 mars au 11 mars. Topálov, ferait un retour outre une série, en gagnant trois départs(parties) de manière consécutive, en égalisant l'une plus et en détrônant à jusqu'alors un leader, Peter Lékó dans la ronde 13. Ainsi quatre joueurs finiraient égalisés dans 6.5 points après avoir fini la ronde avant-dernière : Levon Aronian, Peter Lékó, Teimour Radjábov et Veselin Topálov.

Le départ(partie) entre Vallejo et Topálov avait conclu dans des tables. Aronian de l'époque, que même ce moment portait certain avantage, s'est lancé à l'abordage définitif à la recherche de(en recherche de) la victoire. À partir d'alors, Lékó n'a pas déjà pu opposer à peine une résistance devant l'offensive vaillante et la mesure des pièces noires dirigées par Aronian et il a fini par céder le point devant une attaque impitoyable finale des tours noires.

Levon Aronian s'est déclaré vainqueur de la XXIII édition du Tournoi des Morelia-linières. Dans la dernière ronde, en jouant avec Noires, il s'est mis au courant d'un brillant départ(partie) au Hongrois Peter Lékó.

La table de positions terminerait avec 8 un 1/2 des points de 14 possibles pour Aronian, suivi par Topálov et Radjábov avec 8 et Lékó avec 7 un 1/2.

[modifier] Tableau final

No. Nom Féd ELO 1 2 3 4 5 6 7 8 Total SB
1 Levon Aronian Arménie Arménie 2752 XX = 0 1 = = 1 0 = 1 = 1 = 1 = 8,5 56,75
2 Veselin Topalov Bulgarie Bulgarie 2801 = 1 XX 0 = = 1 1 = 0 1 = 1 0 = 8 55,75
3 Teimour Radjabov Azerbaïdjan Azerbaïdjan 2700 0 = 1 = XX 0 = = 1 = 1 1 = = = 8 53,5
4 Peter Leko Hongrie Hongrie 2740 = 0 = 0 1 = XX 1 = = = = = 1 = 7,5 50
5 Vasily Ivanchuk Ukraine Ukraine 2729 1 = 0 = = 0 0 = XX 1 = = 0 = 1 6,5 44,75
6 Peter Svidler Russie Russie 2765 0 = 1 0 = 0 = = 0 = XX 1 = 1 = 6,5 43,5
7 Étienne Bacrot France France 2717 0 = = 0 0 = = = 0 1 0 = XX = 1 6 40,25
8 Francisco Vallejo-Pons Espagne Espagne 2650 = 0 1 = = = 0 = = 0 0 = = 0 XX 5 37,5

[modifier] Parties remarquables du tournoi

Références, le site de Mercier et le site de chessbase (http://www.chessbase.com/newsdetail.asp?newsid=2932).

[modifier] Une des plus belles parties d'Ivantchouck

La partie Ivanchuk -Shirov, jouée au tournoi de Wijk aan Zee en 1996, fut sans aucune contestation l'une des plus belle partie de l'année 1996 et de la carrière du génial ukrainien. Vassili Ivanchuk a toujours affirmé que le coup génial qui fait basculer la partie fut trouvé sur l'échiquier (autrement dit, ce n'était pas une préparation maison) :

Défense semi-slave [D44] 1.d4 d5 2.c4 c6 3.Cc3 Cf6 4.Cf3 e6 5.Fg5 dxc4 6.e4 b5 7.e5 h6 8.Fh4 g5 9.Cxg5 hxg5 10.Fxg5 Cbd7 11.exf6 Fb7 12.g3 [Ce coup est fait pratiquement sans réfléhir depuis que l'on a découvert à quel point il était important de solidifier le futur roque blanc. L'une des "parties de références" vit se jouer la ligne suivante :12.Fe2 Db6 13.0–0 0–0–0 14.a4 b4 15.Ce4 c5 16.Db1 Dc7 17.Cg3 cxd4 18.Fxc4 Dc6 19.f3 d3! 20.Dc1( Si 20.Fxd3 Fc5+ 21.Rh1 Txh2+ 22.Rxh2 Th8+ 23.Fh7 Cf8 24.Ce4 Cxh7 25.Rg3 Tg8 26.Rg4 Dd5 et les noirs gagnent) 20...Fc5+ 21.Rh1 ( Si 21.Fe3 d2 22.Dxd2 Ce5) 21...Dd6 22.Df4 Txh2+! 23.Rxh2 Th8+ 24.Dh4 Txh4+ 25.Fxh4 Df4 0–1 Denker, A - Botvinnik, M URSS vs USA 1945. Tartakower avait commenté : "En tenant en compte l'importance de la théorie des ouvertures, ainsi qu'en considérant le dynamisme de l'attaque des noires, cette partie est l'une des plus remarquables de la dernière décennie."]

12...c5 13.d5 Db6 14.Fg2 0–0–0 15.0–0 b4 16.Ca4 [Une autre ligne principale est 16.Tb1.] 16...Db5 17.a3 exd5 [Shirov, qui commenta cette défaite dans son livre "Fire on Board", écrivit "Je n'avais jamais joué cela avant, et je surpris un Ivanchuk qui cependant réagit de façon ingénieuse".] 18.axb4 cxb4 19.Fe3 Cc5 20.Dg4+ Td7 [ Formellement une nouveauté à l'époque, mais l'idée de sacrifier la qualité était déjà connue, parce que l 'alternative 20... Rb8 est mauvais à cause de 21.Dd4! qui fut joué dans Agzamov - Chandler, Belgrade 1982 21... Cxa4 22. Dxa7 + Rc7 23. Txa4! Ta8 24. Dxa8 Fxa8 25. Txa8 en arrivant à un type de position typique où pour une compensation matérielle insuffisante pour la dame, on a une initiative terrible sur le monarque noir, et un clair avantage, 1–0 en 40 coups.]


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a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8
a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7
a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6
a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5
a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4
a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2
a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1
Image:chess_zver_26.png
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Après 20... Td7

21. Dg7!! [ L'un des coups les plus étonnants de l'histoire des échecs, la dame s'immole pour dévier le Fou f8 de la protection de du Cc5. Ftacnik écrivit : "Un sacrifice fascinant créé dans la tranquillité des analyses domestiques. Le monarque noir sera l'objectif des pièces blanches". En revanche en témoin plus direct, le Shirov lui-même commenta : "Un sacrifice de dame positionnel, après lequel l'attaque des tours blanches sera extraordinairement forte. Quand le coup est venu sur l'échiquier, il sembla si simple... Vassily m'a dit après la partie qu'il avait découvert Dg7 devant l'échiquier. Impressionnant". Shirov attendait 21. Cxc5 Fxc5 22. Fxc5 Dxc5 23. Fh3 Thd8 24. Dg7 Rc7 25. Fxd7 Txd7 avec compensation.] 21... Fxg7 [forcé] 22. fxg7 Tg8 23. Cxc5 d4 ?[C'était un recours suffisant pour égaliser, cependant Ivanchuk continue de jouer avec une précision et une élégance - qui font de cette partie, une oeuvre d'art - et réfute ce coup. Shirov a commenté qu'il avait sous-estimé le 26 ème coup blanc. Plus de sept ans plus tard, Shirov a d'ailleurs trouvé la réponse correcte (sauf réfutation!) pour les noirs : 23... Txg7 24. Cxd7! Dxd7 25. Txa7 Tg6!? {pour être défait du Fe3} 26. Tfa1 ?! (la variante principale des investigations de Shirov, qui considère la position égale, est : 26. Td1 Dg4! 27. Td4 Df5 28. h4! Tg4! 29. Td2 Te4 30. Rh2 De6! 31. Fxe4 Dxe4 32. Td4 Db1 33.h5 Dxb2 34.h6 Db1! 35. Th4 d4 36. Txb7 Rxb7 37. Fxd4 Dh7 38. Fe3 Rc6 39. Txc4 + Rb5 40. Tg4 b3 41. Tg7 Dh8 42. Txf7 b2 43. Tb7 + Rc4 avec position **planches**. C'est seul "le squelette", il y a beaucoup de variantes dans elle.) 26... Te6 27. Fd4 ?! (une autre imprécision, selon Shirov l'avantage noir est minimal après 27. T7a5 Txe3 28.fxe3 De6 29. Te1 etc...) 27... Te2 28.h4 Td2! 29. Fe3 Txb2 30. T1a5 b3!! 31. Tc5 + (Shirov a montré la ligne suivante : 31. Ta8 + Fxa8 32. Txa8 + Rb7 33. Ta7 + Rc6 34. Txd7 Tb1 + 35. Rh2 Rxd7 36.h5 b2 37.h6 Th1 +! 38. Fxh1 b1=D 39. Fxd5 c3 et les noires gagnent.) 31... Rd8 32. Txb7 Dxb7 33. Txd5 + Dxd5 34. Fxd5 Tb1 + 35. Rg2 b2 36. Fe4 Td1 37. Fg5 + Re8 38. Ff6 b1=D 39. Fxb1 Txb1 40.h5 Rf8 41.g4 Td1 42. Fb2 Rg8 0–1 Ponomariov,R - Shirov, À Wijk Aan Zee 2003.] 24. Fxb7 + Txb7 25. Cxb7 Db6 [25... Rxb7 perd rapidement après 26. Fxd4 a5 27. Tfe1 etc..] 26. Fxd4!! [Shirov attendait 26. Ff4 Rxb7 27. Tfe1 a5 avec contre-jeu.] 26... Dxd4 27. Tfd1 Dxb2 [En cas de 27... Dxd1 + 28. Txd1 Rxb7 29. Td4 Txg7 30. Txc4 a5 31. Tf4! Rb6 32.h4 Rb5 33.b3 il (elle) passe par une fin gagnante de tours.; Et 27 n'est pas non plus suffisant... Dxg7 28. Txa7 Rb8 29. Tda1 Te8 (si 29... Dd4 gagne 30. Ca5!! Dc5 31. Tb7 + Rc8 32. Txf7 en gagnant.) 30. Cd6 Te1 + 31. Txe1 Rxa7 32. Cxc4 avec un clair avantage blanc. Les blanches stabiliseront son aile une dame, et ses ouvriers de l'aile se mettront en marche un roi.] 28. Cd6 + Rb8 29. Tdb1 Dxg7 ? [Il (elle) était allez mieux(améliorez-lui), bien qu'insuffisant en face d'un jeu exact, 29... Dc3 30. Txa7! Rxa7 (si 30... Txg7 31. Tb7 + Ra8 32. T7xb4 en gagnant.) 31. Cb5 + Ra6 32. Cxc3 bxc3 33. Tb4! qui a été une ligne que le perdant reconnaît avoir vu trop tard. Il(elle) offrait plus une résistance, selon l'opinion de Shirov, 29... Dd2 30. Cxc4 Dc3 31. Ta4! (31. Ce3 Dc5 32. Ta4 a5 33. Tba1 b3 31 est confus) ... b3 32. Ca5! (mieux que 32. Ce3 Ra8 33. Ta3 Dxg7 34. 32... Ra8 (si 32 ... b2 33. Tb4 + Ra8 34. T4xb2 etc..) 33. Ta3! (33. Txb3 ?! De1 + 34. Rg2 Dd1 permet un counterjeu.) 33... Dxg7 34. Cc6 Rb7 35. Cxa7 avec une position gagnante.] 30. Txb4 + Rc7 31. Ta6! [ " Maintenant les noires doivent remettre sa tour pour éviter un mat(maté)" Shirov.] 31... Tb8 [il y n'est eu 31 défense... Ta8 32. Tb7 + Rd8 33. Cxf7 + Re8 34. Cd6 + en gagnant.] 32. Txa7 + Rxd6 33. Txb8 Dg4 34. Td8 + Rc6 35. Ta1 1–0

[modifier] Test de diagramme d'Echecs

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a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8
a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7
a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6
a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5
a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4
a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2
a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1
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Après 20.f3

Position avant le 21. Dg7!! lors de la partie Ivantchouck - Shirov (Wijk Aan Zee 1996)


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a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8
a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7
a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6
a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5
a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4
a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2
a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1
Image:chess_zver_26.png
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Après 20... Td7


[modifier] Espace tangent

La définition intuitive est un peu compliqué.

Ma proposition:

L'espace tangent en un point a d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles à partir de la position a d'un "mobile" qui se déplacerait (sans pouvoir la quitter) dans la variété M.

[modifier] Propriété universelle

[modifier] Propriété universelle d'un corps de fraction

Pour tout corps L et tout homomorphisme injectif f \,de A dans L, il existe un unique homomorphisme \tilde f de K(A) dans L tel que f = \tilde f \circ i

[modifier] Propriété universelle du produit tensorielle d'A-module

Soient M, N et L trois A-modules et soit B une application bilinéaire de M \times N dans L, il existe un unique A-module (à isomorphisme près) noté M \otimes N et une unique application A-linéaire \tilde f de M \otimes N vers L telle que :

Pour tout (x,y) \in M \times N, on a B(x,y) = \tilde f(x \otimes y)

[modifier] Propriété universelle de l'anneau des polynômes à n indéterminées

Soit A, un anneau commutatif unitaire. La A-algèbre A[X1,X2,...,Xn] possède la propriété suivante:

Pour toute A-algèbre B et tout morphisme d'anneaux f:A \rightarrow B et toute application h: \{1,...,n\} \rightarrow B, il existe un unique homomorphisme de A-algèbres \phi :A[X_1,X_2,...,X_n] \rightarrow B tel que φ(Xi) = h(i) pour tout i \in \{1,2,...,n\} et φ(a) = f(a) pour tout a \in A.

[modifier] Propriété universelle d'anneau quotient

Soit A un anneau et I un idéal de A, le quotient A / I possède la propriété suivante:

Pour tout homomorphisme d'anneaux f : A \rightarrow B tel que f(I) = {0B} il existe un unique homomorphisme d'anneau \tilde f :A/I \rightarrow B telle que \tilde f \circ \pi = f où π est la surjection canonique de A vers A / I.

[modifier] Théorème ergodique de Birkhoff

Soit (X,Ω,μ) un espace mesuré, T:X\rightarrowX une transformation mesurable et μ une mesure finie T-invariante (pour tout ensemble mesurable A de Ω, on a μ(T − 1(A)) = μ(A)).

Pour toute fonction f de L1(X,μ), la suite (\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x))_{n \geq 1} converge μ-presque sûrement.

De plus, en notant (lorsqu'elle existe) :

\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x) = g(x), on a :

  • g \circ T = g; μ-presque sûrement.
  • | | g | | 1 = | | f | | 1 (g est donc dans L1(X,μ)).
  • Pour tout ensemble mesurable A tel que μ(T − 1(A)) = μ(A)), on a :\int_{A} g(x)\, \mathrm d\mu(x)= \int_{A} f(x)\, \mathrm d\mu(x)

[modifier] Corollaire

Avec les mêmes hypothèses et en supposant que la mesure μ soit ergodique, on a :

\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x) =\int_{X} f(t)\, \mathrm d\mu(t) pour μ presque tout x.


[modifier] Projets de modifs sur l'article représentation linéaire de groupes finis

[modifier] Genèse de la théorie

  • Parler de la notion (obsolète depuis ) de déterminant de groupes.
  • la lettre de Dedekind à Frobenius où il fait remarquer que si on prend un table de loi d'un groupe et que l'on la "transforme" en une matrice, alors le déterminant se factorise en produit de polynômes irréductibles (dans C[G])qui ont un degré de multiplicité égal à leur degré et que le nombre de facteurs linéaires est égal à G / D(G).
  • Donner un exemple avec le groupe V4 et la matrice M=\begin{pmatrix}x_1 & x_a & x_b & x_{a.b}\\x_a & x_1 & x_{a.b} & x_b\\x_b & x_{a.b} & x_1 & x_a\\x_{a.b} & x_b & x_a & x_1\end{pmatrix}.

et avec \mathfrak{S}_3.

  • Donner explicitement la règle xgxg' = xg.g' (car la notion d'algèbre de groupe est évoqué plus tard)? ou donner brutalement les matrices?

[modifier] Application à la physique

La notion apparait dans de nombreux problèmes de la physique car tous les systèmes ont un groupe de symétrie et certain espaces vectoriels associés au système sont des G-modules (sur \R).

Par exemple, lors de l'étude des vibrations moléculaires, où interviennent différentes équations différentielles, le groupe de symétrie de la molécule agit sur l'espace vectoriel des solutions de ces équations.

On a donc une représentation linéaire du groupe de symétrie.

La décomposition de cette représentation en représentation irreductible est très utile pour déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions (modes normaux par exemple).

  • un exemple avec une équation différentielle de la forme \ddot{x}= Ax (A symétrique réelle).
  • apprendre à faire et mettre des schémas.


[modifier] Modifs que j'apporterai à l'article sur la notion de groupe dérivé

[modifier] Dans la rubrique propriété


  • Tout morphisme de G dans un groupe G' abélien se factorise via G/D(G)


démonstration

Comme l'image d'un commutateur [g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\, par un morphisme de groupe \rho:G\rightarrow H est le commutateur [\rho(g),\rho(h)]= \rho(g) \rho(h) \rho(g)^{-1} \rho(h)^{-1}\,, on en déduit que ρ envoie le groupe dérivé D(G) de G dans le groupe dérivé D(H) de H: \rho(D(G))\subseteq D(H).

Dans le cas particulier où H est abélien, D(H) est réduit au groupe trivial et donc D(G) est contenu dans le noyau de ρ.

Puisque D(G) est un sous-groupe distingué, on peut définir le groupe quotient G / D(G).

On peut donc utiliser la propriété universelle des groupes quotient et factoriser ρ via G / D(G).

  • G / D(G) est abélien,et pour tout sous groupe distingué H, G/H est abélien \Longleftrightarrow D(G) est inclus dans H (à proposer comme caractérisation afin d'éviter le doublons avec la dem que G /D(G) est abélien )


démonstration

Soient π la surjection canonique de G dans G/D(G) et π(g) et π(g')deux éléments de G/D(G) (g,g' \in G).

Comme [g,g'] est dans D(G), on a :

π(1) = π([g,g'])= π(gg'g − 1(g') − 1) = π(g) π(g') π(g − 1) π(g' − 1).

On a donc π(g) π(g') = π(g') π(g).

G /D(G) est abélien.

Soit H un sous groupe distingué de G.

a)supposons G/H abélien.

Soit π : G \longrightarrow G/H la surjection canonique, l'image de tout commutateur de G par π est π(1), les commutateurs sont donc dans le noyau de π c'est à dire H.

b) Supposons D(G) inclus dans H.

On utilise la même démonstration qui prouve que G / D(G) est abélien.

La surjection canonique de G sur G/H envoie tous les commutateurs dans le groupe trivial(puisqu'ils sont aussi dans H), on a donc pour tout (g, g') dans G \times G :

π([g,g'])= π(1) \Longleftrightarrowπ(gg'g − 1(g') − 1) = π(1) \Longleftrightarrowπ(g) π(g')π(g − 1) π(g' − 1) =π(1), d'où π(g) π(g') = π(g') π(g).


Remarque : pour éviter de lourdeur, il vaut mieux donner cette caractérisation du groupe dérivé, puis avoir comme corrolaire, G/D(G) abélien).

[modifier] lien entre D(G) et G^{\vee}

  • le groupe dual(à définir donc)d'un groupe fini G, noté \widehat {G}(ou G^{\vee} )est isomorphe à G /D(G)


démonstration

a) donner le cas où G est cyclique.(c'est peut être mieux de le donner en propriété ).

b)Si G1 et G2 sont abéliens, alors G_1^{\vee} *G_2^{\vee} est isomorphe à (G_1 *G_2 )^{\vee}.

c)Si G est abélien, alors G est isomorphe à G.

d) application du résultat c) à G/D(G) qui est abélien.

[modifier] application aux groupes résolubles

Proposition : Un groupe fini G est résoluble si la suite Dk(G) définie par récurrence par D0(G) = G et pour i \ge 0, Dk + 1(G) = D(Dk(G)) atteint le sous groupe \left\{ 1_G \right\}.

[modifier] Groupe Nilpotent

Introduction, importance de cette notion.

[modifier] Définition

Soit G un groupe et ( \Delta_n(G))_{n \geq 0} la suite de sous groupes de G définie par :

  • Δ0(G) = G.
  • Δn + 1(G) = [Δn(G),G] (groupe engendré par les commutateurs xyx − 1y − 1 où x \in \Delta_n(G) et y \in G ) pour n \geq 1.

Le groupe G est dit nilpotent, s'il existe n \geq 0 tel que Δn(G) = 1G.

Le plus petit entier n0 tel que \Delta_{n_0}(G) = 1_G est appelé classe de nilpotence de G.

[modifier] Propriétés

a) Comment prouve t-on qu'un groupe donné est nilpotent:

  • Un groupe abélien est nilpotent.
  • Un produit direct de groupes nilpotents est nilpotent.
  • Un p-groupe est nilpotent.


b) Que fait on avec un groupe nilpotent:

  • Un groupe nilpotent est un groupe résoluble.
  • Un sous groupe d'un groupe nilpotent est nilpotent.
  • Le quotient G/H d'un groupe nilpotent G par un sous groupe distingué H est nilpotent.
  • Si G est un groupe nilpotent de classe de nilpotence n0, alors \Delta_{n_0}(G) \subset Z(G).
Corollaire : Si un groupe nilpotent n'est pas trivial, alors son centre ne l'est pas non plus.
  • Un groupe fini est nilpotent si et seulement si il est le produit direct de p-groupes.

[modifier] Exemple

Exemple : \mathfrak{S}_3 n'est pas nilpotent car pour n \geq 1, \Delta_{n}(\mathfrak{S}_3) = \mathfrak{A}_3


[modifier] Polémique spécifique au livre

[modifier] Polémiques autour des citations et cautions.

Positivement critiqué, selon l'Argus de la Presse[réf. nécessaire], dans 74 articles de la presse généraliste nationale et provinciale (excepté par le quotidien le Monde[1] et par le magazine "Lire"[2].), ce livre a été violement critiqué à sa sortie par la plupart de la presse de vulgarisation scientifique comme "La Recherche"[3], "Ciel et Espace" [4] ou Pour la Science[5].

Ainsi, selon l'article de David Fossé, des citations et des rapports de thèse présents dans l'ouvrage ont été tronqués ou traduits de façon biaisée, dans le sens d'une surestimation outrancière. Par exemple, un texte initialement publié par Urs Schreiber sur internet [6] a été amputé d'une phrase critique et de la conclusion très négative pour les travaux des Bogdanoff. Ce qui a fait dire au physicien qu' "il ne fait guère de doute que les Bogdanov usent de procédés assez éloignés de l’honnêteté"[7].

D'après le témoignage du mathématicien anglais Shahn Majid, la version française de son rapport de la thèse de Grishka Bogdanoff est "une traduction non autorisée et en partie inventée par les Bogdanov". C'est ainsi, selon ce spécialiste des groupes quantiques, qu'il y a plus d'une dizaine de glissements sémantiques qui font passer pour favorable aux yeux des néophytes, un rapport qui à l'origine juge un étudiant "très faible".

De même, une formule de politesse excessive (selon le propre aveu de l'auteur [8])du mathématicien américain Peter Woit ( "It's certainly possible (...)" ) est avantageusement traduite sans le consentement de ce dernier en "Il est tout à fait certain (...)". Les frères Bogdanov ont fait observer que l'adaptation de l'anglais vers le français [réf. nécessaire] entraîne nécessairement des libertés de traductions portant sur tel ou tel mot sans que le sens global du texte en soit altéré.

Outre les thèses controversées, les critiques insistent sur ce qu'ils considèrent comme des erreurs grossières, et raisonnement aberrants présents dans l'ouvrage.

Alors que la quatrième de couverture de ce livre, présente les jumeaux comme "poursuivant leurs recherches dans l'Institut International de Physique mathématique", le journal révèle que cet institut fut en fait créé de toute pièce par Igor Bogdanov [9] quelques jours avant la parution de cet ouvrage.

[modifier] Polémiques autours du contenu de ce livre

D'après le site d'Ybm (à vérifier), ce serait assez carabinée...

[modifier] formule à lateXifier

(ds)^2=(dt)^2-(dr+ \sqrt{\frac{2m}{r}}dt)^2 -r^2((d \theta)^2+sin^2(\theta)(d\phi)^2)

C'est fait!

[modifier] Adaptation de l'article sur l'affaire Bogdanov présente dans la version anglaise de wikipédia

L'affaire Bogdanoff est une polémique académique (à améliorer) qui concerne une serie d'articles traitant de physique théorique écrits par les frères jumeaux Igor et Grishka Bogdanoff (ou Bogdanov). Ces articles furent publiés dans des journaux scientifiques réputés, et proposent une théorie qui décrirait ce qui c'est passé au moment du Big Bang. La controverse éclata en 2002 quand une rumeur se répandit dans les newsgroup d'usenet selon laquelle, ce travail ne serait qu'un canular volontaire visant la communauté scientifique. Alors que les Bogdanoff défendait la validité de leurs travaux, de nombreux physiciens affirmèrent que ces articles n'avait aucun sens, soulignant la faillibilité du système de referees utilisé pour selectionner les articles à publier. Le débat se répandit d'Usenet vers de nombreux autres forums d'internet, ce qui inclut des blogs de physiciens notables et les version française et anglaise de wikipédia, et fut considérablement couvert par les médias.

La légitimité des Bogdanov à écrire des articles sur la cosmologie s'appuie sur les doctorats qu'ils obtinrent à l'université de Bourgogne; Grishka Bogdanoff reçu son grade de docteur en mathématiques, et Igor Bogdanoff en physique théorique (respectivement en 199 et 2002). Les deux doctorats furent attribués avec la mention "honorable", qui bien que basse est suffisante, dans le cas d'Igor ce ne fut seulement après qu'il eut publié dans des journaux respectables afin d'établir l'acceptibilité (à améliorer) de ce travail. Plus tard, lorsque des remises en cause de la légitimité des articles des Bogdanoff surgirent, le débat s'orienta vers la question de savoir si le remplacement d'une "exigence de publication" par des professeurs d'université quand ils ne comprennent pas le travail de leurs étudiants est un moyen valide de déterminer la véracité d'un article. Cependant, à cause de la complexité intrisèque de sujets comme les groupes quantiques et la théorie topologique des champs (au même titre que la montée d'un jargon excessif utilisé par ceux qui étudient cette discipline), il est difficile d'éviter de telle délégation, dès lors qu'une expertise spécifique est toujours nécessaire afin de vraiment comprendre et d'évaluer les proclamations (revendications, prétentions) faites dans les articles de ces matières.

Depuis le début des années 1980, les frères furent largement connus en France en tant que présentateurs de télévision. Leurs émissions comme "Temps X" (et plus récemment "Rayon X") traitent de sujets liés à la vulgarisation scientifique et de science fiction, et attirèrent un large public. Le statut de personne célèbre des Bogdanov dans leur pays a pu aider l'élargissement de cette polémique aux médias grand public et au forums en ligne.


[modifier] Origine de l'affaire

According to the nowadays well-established Big Bang scenario, the Universe (or at least the part of it we can observe) experienced an extremely dense and hot era (bottom), possibly starting from a gravitational singularity. Since then, space has expanded, carrying matter and later galaxies with it. The history of expansion is very well known since primordial nucleosynthesis, but the earlier epochs are significantly less constrained. The present analysis of the cosmic microwave background suggests that an inflationary era occurred at a much hotter and denser epoch than nucleosynthesis. The even earlier epochs are presently left to speculations, ranging from a singular beginning of space-time to a bouncing epoch (e.g., the Big Bounce); an eternal, non-singular expansion (e.g., chaotic inflation); string theory-inspired scenarios (the string landscape); or even weirder scenarios involving extra dimensions such as the ekpyrotic universe. Some of these scenarios may replace the now-standard inflationary framework. In the case of a singular beginning (a hypothesis which is presently impossible to prove either theoretically or observationally), present knowledge tells us nothing about what happened from the time of the singularity until around 10-43 second, an epoch known as the Planck era, because space-time has then to be described by a quantum theory of gravity, which is presently not known. The Bogdanov publications purport to have discovered what happened during this earliest epoch and even before the moment of the singularity itself.
According to the nowadays well-established Big Bang scenario, the Universe (or at least the part of it we can observe) experienced an extremely dense and hot era (bottom), possibly starting from a gravitational singularity. Since then, space has expanded, carrying matter and later galaxies with it. The history of expansion is very well known since primordial nucleosynthesis, but the earlier epochs are significantly less constrained. The present analysis of the cosmic microwave background suggests that an inflationary era occurred at a much hotter and denser epoch than nucleosynthesis. The even earlier epochs are presently left to speculations, ranging from a singular beginning of space-time to a bouncing epoch (e.g., the Big Bounce); an eternal, non-singular expansion (e.g., chaotic inflation); string theory-inspired scenarios (the string landscape); or even weirder scenarios involving extra dimensions such as the ekpyrotic universe. Some of these scenarios may replace the now-standard inflationary framework. In the case of a singular beginning (a hypothesis which is presently impossible to prove either theoretically or observationally), present knowledge tells us nothing about what happened from the time of the singularity until around 10-43 second, an epoch known as the Planck era, because space-time has then to be described by a quantum theory of gravity, which is presently not known. The Bogdanov publications purport to have discovered what happened during this earliest epoch and even before the moment of the singularity itself.


Les frères Bogdanoff naquirent le 29 Aout 1949 à Saint Lary dans le Gers, situé dans la Gascogne, une région du sud de la France. Leur père est russe et leur mère autrichienne, issus tous les deux de familles aristocratiques qui fuirent leur pays pour s'installer en France.[10][11] Ils étudièrent tous les deux les mathématiques appliquées à Paris, mais ensuite commencèrent leur carrière dans la télévision dans le début des années 80, produisant une émission intitulé "Temps X". Ce programme qui traitait des sujets de vulgarisation scientifique et de science-fiction leur valu une célébrité considérable.[12]

Temps X continua pendant dix ans et fut suivit d'autres émissions du même genre.[11] En 1993, les frères commencèrent leur thèse, d'abord sous la direction du physicien théorique Moshé Flato de l'université de Bourgogne. Flato mourru en 1998, et son collègue Daniel Sternheimer (du Centre National de recherche scientifique ) reprit la tâche de superviser les Bogdanov. Selon Sternheimer, les jumeaux s'imaginent être des "frères Einstein" et ont une propension à exprimer des idées de façon vague et impressionniste; il affirma que les guider à travers leurs efforts, fut comme apprendre à "my fair lady" comment s'exprimer avec l'accent d'Oxford."[12] Comme il le concéda The Chronicle of Higher Education, Sternheimer ne se considérait pas lui même un expert dans tous les sujets que Grichka Bogdanov avait inclus dans sa thèse, mais avait jugé que les parties touchant à son domaine de compétence étaient un travail d'une qualité digne d'un doctorat.[11]

Le reporter du The Chronicle of Higher Education, Richard Monastersky nota que sur la quatrième de couverture du livre des Bogdanoff, publié en 1991 "Dieu et la science", il est écrit que les frères détiennent des doctorats scientifiques, ce qui n'était pas vrai à l'époque. Ce livre provoqua une polémique propre en 1992, quand le professeur d'astronomie de l'université de Virginie, Trinh X. Thuan accusa les Bogdanovs d'avoir plagié son livre La mélodie secrète: et l'homme créa l'univers" (eventuellement publié dans sa version anglaise en 1995). Après un procès en France, Thuan et les Bogdanovs réglèrent ce différent juridique hors des tribunaux, et plus tard les Bogdanovs nièrent toutes mauvaises actions. Thuan suggera que le procès pour plagiat pressa les Bogdanov d'obtenir des doctorats aussi vite que possible.[11]

En 1999 et en 2002 respectivement, Grichka et Igor Bogdanov reçurent leur grade de Docteurs sur la base de deux thèses (Grichka en mathématiques et Igor en physique théorique) de l'université de Bourgogne. En 1999 il fut attribué à Grichka Bogdanov la basse et rare mention "honorable" pour sa these fluctuations quantiques de la signature de la métrique à l'échelle de planck, à la condition qu'il ré-écrivit considérablement sa thèse, ""soulignant la portion mathématique sur le contenu en physique""(à travailler)).[13] Le même jour, Igor Bogdanov échoua à la soutenance de sa thèse Origine topologique de l'inertie". Il fut par la suite convenu de lui permettre d'obtenir son doctorat s'il pouvait publier trois articles dans des revues à comité de lectures. Après qu'il eut remplit cette condition, Igor soutint avec succès sa thèse trois ans plus tard sur un sujet différent sous la responsabilité de deux co-directeurs. Sa nouvelle thèse, Etat topologique se l'espace-temps à l'échelle de Planck, reçu également la même basse mention d'"honorable", rarement attribué, comme l'affirma Daniel Sternheimer New York Times au reporter scientifique Dennis Overbye. Afin de justifier l'attribution des grades de docteurs aux bogdanov , Sternheimer dit au Times: "Ces types bossèrent pendant dix ans sans être payés. Ils ont le droit de voir leurs travaux reconnus par un diplôme, ce qui n'est pas grand chose de nos jours."[12]

Les deux frères publièrent au total de six articles dans des revues de physique et de mathématique, parmi eux Annals of Physics et Classical and Quantum Gravity, qui sont tous les deux à comité de lecture. Après avoir lu les résumés des deux thèses, le physicien allemand Max Niedermaier conclut que les articles étaient pseudoscientifiques, ne contenant que du jargon très technique écrit afin de sonner scientifique mais sans réel contenu. Du point de vue de Niedermaier, les Bogdanovs avaient essayé de démontrer les faiblesses du système de comité de lecture, dans une démarche très proche de celle du physicien Alan Sokal qui avait publié un article délibérément absurde dans une revue de sciences humaines Social Text. Le 22 octobre 2002, Niedermaier écrivit un courrier électronique qu'il destina à être largement distribué. Un des destinataires, le physicien théorique américain John Baez, créa une discussion sur le "newsgroup" d'usenet sci.physics.research intitulée "Physics bitten by reverse Alan Sokal hoax?"(Est ce que la physique a été frappée par une "affaire Sokal" à l'envers?"[14] qui rapidement atteignit les 100 messages.

Cette dispute verbale attira bientôt l'attention du monde entier, à la fois dans la communauté des physiciens et de la presse grand public. Suivant l'opinion de Niedermaier, la majorité des participants du Usenet discussion thread crée par Baez firent également la supposition que ce travail était un canular délibéré, ce que le Bogdanoff nièrent. Après avoir apprit que les Bogdanoff avaient réfuté la thèse du canular, Niedermaier se fendit d'une excuse publique et privée(!? c'est de moi)auprès de Bogdanoff 24 octobre 2002 pour ce qu'il avait supposé au début à propos des thèses.[15] Cependant, il fut prouvé que ce fut le dernier commentaire public de Niedermaier à propos de cette affaire: Il n'a jamais appuyé la validité ou le mérite des travaux en question.

[modifier] Reports and comments from scientists

[modifier] Rapports des thèses

Les rapport des thèses des frères, au total de sept, contiennent des remarques généralement positives. Ce qui suit sont des extraits des rapports que les Bogdanoff ont eux mêmes tirés comme preuve de leur "bonne foi":[16]

  • Roman Jackiw, from MIT: "The author proposes a novel, speculative solution to the problem of the pre-Big-Bang initial singularity ... the thesis and the published papers provide an excellent introduction to these ideas, and can serve as a useful springboard for further research in this area".
  • Roman Jackiw, de l'Institut de technologie du Massachusetts: "L'auteur propose une solution nouvelle et spéculative au problème de la singularité initiale du pré-Big-Bang...La thèse et les articles publiés fournissent une excellente introduction à ces idées, et peut être un tremplin utile vers des recherches plus poussées dans ce domaine".
  • Costas Kounnas, from ENS Paris: "I found this work very interesting, with many new ideas about quantum gravity ... the author proposes an original and interesting cosmological scenario."
  • Costas Kounnas, de l'ENS Paris: "J'ai trouvé ce travail très intéressant, avec de nouvelles idées à propos de la gravité quantique... l'auteur propose un scenario cosmologique nouveau et intéressant."
  • Jack Morava, from the Johns Hopkins University: "the thesis work of Igor Bogdanov is of great interest, dominated by new ideas with fundamental physical implications in cosmology and in many other fields connected with gravitation."
  • Jack Morava, de Johns Hopkins University: "Le travail de la thèse d'Igor Bogdanov est d'un grand intérêt, dominé par de nouvelles idées ayant des implications fondamentales en cosmologie et dans beaucoup d'autres champs liés à la gravitation."

Igniatios Antoniadis (de l'École Polytechnique) révisa plus tard son jugement à propos de la thèse de Grichka Bogdanov. Antoniadis confia au journal Le Monde,

J'avais donné un avis favorable pour la soutenance de Grichka, basé sur une lecture rapide et indulgente du texte de la thèse. Hélas, je me suis complètement trompé. Le langage scientifique était juste une apparence derrière laquelle se cachaient une incompétence et une ignorance de la physique, même de base.[13]
(I had given a favorable opinion for Grichka's defense, based on a rapid and indulgent reading of the thesis text. Alas, I was completely mistaken. The scientific language was just an appearance behind which hid incompetence and ignorance of even basic physics.)

Parmi les sept rapporteurs de thèse, seul Jackiw défendit publiquement son évaluation. Il affirma au New York Times, que la thèse d'Igor contient de nombreux points qu'il ne comprit pas; néanmoins il trouva le travail intriguant. "Il est possible que tout ceci représentent des idées qui peuvent avoir un sens. Cela montra une certaine originalité et quelques familiarités avec le jargon. Je n'exige rien de plus (ou c'est tout ce que je demande)."[12] Pour en savoir plus sur ce sujet.

[modifier] Articles publiés

En Mai 2001, la revue Classical and Quantum Gravity (CQG) visa un article dont les auteurs étaient Igor and Grickha Bogdanov, intitulé "Topological theory of the initial singularity of spacetime". Un des rapporteurs de l'article reports écrivit que l'article "sonnait original et présentait un intéret. Avec des corrections, je pense que cete article sera digne d'être publié (bon pour la publication)." L'article fut accepté sept mois plus tard.

Cependant, après la publication de cet article et la publicité autours de la controverse, le comité éditorial du journal écrivit un courrier électronique statement, disant, en partie,

De façon regrettable, malgré nos meilleurs efforts, le processus de vérification ne peut être efficace à 100%. Ainsi, l'article [...] réussit à passer le processus de contrôle, de façon rétrospective, il ne remplit pas les standarts attendus pour être publiés dans ce journal. L'article fut énormément débattu dans la réunion annuelle du comité éditorial [...] et d'un accord général, il fut reconnu qu'il n'aurait pas du être publié. Depuis, de nombreux pas furent faits dans le but d'améliorer encore plus le processus de vérification afin d'améliorer la qualité de l'évaluation des articles proposés au journal et de réduire la probabilité que cela arrive de nouveau.

L'article en question ne fut pas, cependant, enlevé par le journal. Plus tard, l'éditeur en chef de la revue édita une version statement légèrement différente sous la caution de l'Institut de Physique, qui possède le journal, dans lequel il insista sur le fait que l'habituelle procédure de vérification fut suivie, mais ne commenta plus la valeur de l'article. En particulier la phrase "[...]il ne remplit pas les standarts attendus pour être publiés dans ce journal" et "L'article fut énormément débattu dans la réunion annuelle du comité éditorial [...] et d'un accord général, il fut reconnu qu'il n'aurait pas du être publié." furent enlevées. La phrase précédente fut toutefois citée dans le New York Times,[12] the Chronicle of Higher Education[11] et dans la revue Nature.[17] De plus , le journal allemand Die Zeit cita Hermann Nicolai, le co-éditeur de la revue qui affirma que si l'article était arrivé à son bureau, qu'il l'aurait immédiatement rejeté.[18]

En 2001, la revue Czechoslovak Journal of Physics accepta un article écrit par Igor Bogdanoff, intitulé "Topological Origin of Inertia". Le rapporteur avait conclut report : "De mon point de vue les résultats de cet article peuvent être considérés comme originaux. Je recommande la publication de cet article dans une forme révisée."

Image:ChineseJournalOfPhysics.jpg

En 2002, la revue Chinese Journal of Physics publia "The KMS state of spacetime at the Planck scale", d' Igor Bogdanoff. Le rapport établit que "le point de vue présenté dans cet article peut être intéressant en tant qu'une approche possible de la physique à l'échelle de Planck." Quelques corrections sont requises.

Toutes les évaluations ne furent pas positives. Eli Hawkins, rapporteur pour la revue Journal of Physics A, suggera le refus de l'article des Bogdanoff: "It would take up too much space to enumerate all the mistakes: indeed it is difficult to say where one error ends and the next begins. In conclusion, I would not recommend that this paper be published in this, or any, journal." "Cela prendrait trop de place pour énumérer toutes les erreurs: En effet il est difficile de dire où une erreur finit et où la prochaine erreur commence. En conclusion, je ne recommenderais pas la publication de cet article dans ce journal ou dans aucun autre."[19]

La plupart des articles publiés sont presque identiques, ne se différenciant que sur des aspects mineurs. L'article de CQG résume une grande partie de la thèse de Grichka, mais avec l'ordre des paragraphes presque completement renversé. Les articles du Chinese Journal of Physics, du Nuovo Cimento et des Annals of Physics sont essentiellement identiques (y compris les erreurs typographiques), à l'exception de leur titre et de leur résumé.

[modifier] Critiques des articles

Après que la discussion sur Usenet fut lancée, la grande partie(majorité) des commentaires furent à propos des travaux des Bogdanoff furent négatifs (critiques). Par exemple, John Baez affirma que les articles des Bogdanoff étaient "un micmac de phrases superficiellement plausibles contenant les termes ronflants (pompeux) dans un ordre approximativement correct. Il n'y a aucune logique, ni aucune cohésion dans ce qu'ils ont écrit". Jacques Distler présenta une opinion similaire, affirmant que "les articles des Bogdanoff ne sont constitués que de termes pompeux issus de différents champs de la physique mathématique, de la théorie des cordes et de la gravité quantique, associés dans une prose correcte du point de vue de la syntaxe, mais sans aucune signification du point de vue sémantique."

D'autres comparèrent la qualité des articles des Bogdanoff avec celle des autres articles sur un domaine plus vaste (that seen over a wider arena). "Le travail des Bogdanoff est de façon significative plus incohérent que tout ce qui fut publié", écrivit Peter Woit. "Mais le standart de cohérence de plus en plus bas dans le champ entier est ce qui leur a permis de penser qu'ils faisaient quelque chose de raisonable et de le faire publier." continua t-il. Plus tard, Woit consacra un chapitre de son livre "Not Even Wrong" ("Même Pas Fausse! La physique renvoyée dans ses cordes")(2006) à l'affaire Bogdanoff.

Par la suite, la controverse attira l'attention des médias grand public, ouvrant de nouvelles voies qui permirent aux commentaires des physiciens de se propager. Le Monde cita une phrase d'Alain Connes, récipendiaire de la Médaille Fields en 1982, "Il ne m'a pas fallu longtemps pour me persuader qu'ils parlaient de choses qu'ils ne comprennent pas totalement." [13]. Le lauréat du prix Nobel, Georges Charpak déclara dans l'émission Tout le monde en parle que la présence des Bogdanov dans la communauté scientifique était "inexistante".[20]

Les commentaires les plus positifs à propos des articles eux-même vinrent du théoricien des cordes Luboš Motl. Presque trois ans après le point culminant(heyday)de la controverses, Motl écrivit dans une entrée sur son blog que "Les frères Bogdanoff sont en train de proposer quelque chose qui a, de façon spéculative, le potentiel pour être une alternative à la gravité quantique...Ce qu'ils sont en train de proposer est une nouvelle structure calculatoire potentielle pour la gravité. Je pense qu'il est peu probable cela fonctionne mais il y a plus de probabilité que pour la gravitation quantique à boucles ou pour les autres approches discrètes dont les problèmes mortels (rédhibitoires) ont déjà été identifiés dans le détail" .[21] Cette comparaison n'est peut être pas totalement farfelue (less than completely illuminating), puisque la question de savoir à quel point l'approche par la gravitation quantique à boucles est vraiment utile, est encore débattue par les physiciens théoriques. (The field is sufficiently fertile to support scientific conferences, like the Loops 05 meeting which took place a week after Motl's blog entry.) Like string theory and all other attempts to quantize gravity, "LQG" remains — at least for the moment — beyond the reach of experimental proof or disproof. Debate over LQG is intimately associated with that about string theory's own problems, an often-heated discussion which is beyond the scope of this article.

[modifier] Internet discussions

In addition to a few articles in print, the Bogdanov affair has been discussed extensively in various newsgroups, webpages and blogs; the Bogdanov brothers have often participated in the discussions, both under their real names, and under several pseudonyms. (They later admitted using some of these pseudonyms, but physicists point to others which they claim to be Bogdanov noms de guerre, which have not been acknowledged.) Most of the pseudonyms were the names of other physicists or mathematicians, purportedly defending the Bogdanovs' work and sometimes insulting their critics (among them the Nobel prize recipient Georges Charpak).

In October 2002, the Bogdanovs released an email containing apparently supportive statements by Perimeter Institute visiting professor Laurent Freidel. Soon after, Friedel denied writing any such remarks, telling the press that he had forwarded a message containing that text to a friend. The Bogdanovs then attributed the quoted passages to Friedel, who said, "I'm very upset about that because I have received e-mail from people in the community asking me why I've defended the Bogdanov brothers. When your name is used without your consent, it's a violation."[11]

At the start of the controversy in the moderated group sci.physics.research, Igor Bogdanov denied that their published papers were a hoax, but when asked precise questions from physicists Steve Carlip and John Baez regarding mathematical details in the papers, failed to convince any other participants that these papers had any real scientific value. New York Times reporter George Johnson described reading through the debate as "like watching someone trying to nail Jell-O to a wall", for the Bogdanovs had "developed their own private language, one that impinges on the vocabulary of science only at the edges."[22]

[modifier] Scientific content

Conceptual drawing of a Foucault pendulum at the Earth's North pole.
Conceptual drawing of a Foucault pendulum at the Earth's North pole.

Participants in the discussions were particularly unconvinced by the affirmation in the "Topological origin of inertia" paper that "whatever the orientation, the plane of oscillation of Foucault's pendulum is necessarily aligned with the initial singularity marking the origin of physical space." The Bogdanovs explained that this sentence would only be clear in the context of topological field theory. The physicists commenting on Usenet found this statement and subsequent attempts at its explanation somewhat peculiar, since the trajectory of a Foucault pendulum — a standard museum piece — is accurately predicted by classical mechanics and even more precisely by general relativity. Baez and Russell Blackadar attempted to parse this statement; after the Bogdanovs issued some elaborations, Baez concluded that it was a complicated way of rephrasing the following:

Since the big bang happened everywhere, no matter which way a pendulum swings, the plane in which it swings can be said to "intersect the big bang".

However, Baez pointed out, this statement does not in fact concern the Big Bang, and is entirely equivalent to the following:

No matter which way a pendulum swings, there is some point on the plane in which it swings.

Yet this rephrasing is itself equivalent to the statement "Any plane contains a point." If this was the essence of the statement, Baez noted, it cannot be very useful in "explaining the origin of inertia".[23] (For an explanation of how the Big Bang "happened everywhere", see Metric expansion of space.)

Urs Schreiber, a postdoctoral researcher at the University of Hamburg, noted that the mention of the Foucault pendulum was at odds with the papers' general tone, since they generally relied upon more "modern terminology". Schreiber identified five central ideas in the Bogdanovs' work — "'result' A" through "'result' E" — which are expressed in the jargon of statistical mechanics, topological field theory and cosmology. One bit of jargon, the Hagedorn temperature, comes from string theory, but as Schreiber notes, the paper does not use this concept in any detail; moreover, since the paper is manifestly not a string theory treatise, "considering the role the Hagedorn temperature plays in string cosmology, this is bordering on self-parody." Importantly, Schreiber points out that the fourth "result" (that the spacetime metric "at the initial singularity" must be Riemannian) contradicts the initial assumption of their argument (an FRW cosmology with pseudo-Riemannian metric). The fifth and last "result", Schreiber notes, is an attempt to resolve this contradiction by "invok[ing] quantum mechanics". The Bogdanovs themselves described Schreiber's summary as "very accurate"; for more on this point, see below. Schreiber concluded,

Just to make sure: I do not think that any of the above is valid reasoning. I am writing this just to point out what I think are the central 'ideas' the authors had when writing their articles and how this led them to their conclusions.[24]

Eli Hawkins of Pennsylvania State University voiced a similar concern about "The KMS state of spacetime at the Planck scale".

The main result of this paper is that this thermodynamic equilibrium should be a KMS state. This almost goes without saying; for a quantum system, the KMS condition is just the concrete definition of thermodynamic equilibrium. The hard part is identifying the quantum system to which the condition should be applied, which is not done in this paper.[19]

Damien Calaque of the Université Louis Pasteur, Strasbourg, commented adversely about Grichka Bogdanov's unpublished preprint "Construction of cocycle bicrossproducts by twisting". In Calaque's estimation, the results presented in the preprint did not have sufficient novelty and interest to merit an independent journal article, and moreover the principal theorem was, in its current formulation, false: Grichka's construction yields a bialgebra which is not necessarily a Hopf algebra,[25] the latter being a type of mathematical object which must satisfy additional conditions.

As mentioned above, among the most positive comments on the papers came from physicist Luboš Motl:

... Some of the papers of the Bogdanoff brothers are really painful and clearly silly [...] But the most famous paper about the solution of the initial singularity is a bit different; it is more sophisticated.
[...] it does not surprise me much that Roman Jackiw said that the paper satisfied everything he expects from an acceptable paper - the knowledge of the jargon and some degree of original ideas. (And be sure that Jackiw, Kounnas, and Majid were not the only ones with this kind of a conclusion.)
[...] Technically, their paper connects too many things. It would be too good if all these ideas and (correct) formulae were necessary for a justification of a working solution to the initial singularity problem. But if one accepts that the papers about these difficult questions don't have to be just a well-defined science but maybe also a bit of inspiring art, the brothers have done a pretty good job, I think. And I want to know the answers to many questions that are opened in their paper.[26]

Motl's measured support for Topological field theory of the initial singularity of spacetime, however, stands in contrast to Robert Oeckl's official MathSciNet review, which states that the paper is "rife with nonsensical or meaningless statements and suffers from a serious lack of coherence," follows up with several examples to illustrate his point, and concludes that the paper "falls short of scientific standards and appears to have no meaningful content."[27]

[modifier] The HKU and HKUST confusion

Map of Hong Kong, showing Kowloon and Hong Kong Island.
Map of Hong Kong, showing Kowloon and Hong Kong Island.

For months, the domain name of the "International Institute of Mathematical Physics" created by the Bogdanovs, th-phys.edu.hk, created erroneous suggestions amongst forum participants as to a possible link with The University of Hong Kong or the Hong Kong University of Science and Technology.

The participation of an unidentified "Professor Yang" provoked additional confusion. An individual publishing under this name wrote to a number of individuals and on the Internet to defend the Bogdanov papers. This individual wrote to physicists John Baez, Jacques Distler and Peter Woit; to New York Times journalist Dennis Overbye; and on numerous physics blogs and forums, signing his name "Professor L. Yang - Theoretical Physics Laboratory, International Institute of Mathematical Physics - HKU/Clear Water Bay, Kowloon, Hong Kong." using an e-mail address at the domain th-phys.edu.hk. Note that it is HKUST which is located in Clear Water Bay, not HKU, whose main campus is located in the Mid-levels of Hong Kong Island.

The Bogdanovs have alleged several times that the "domain name 'th-phys.edu.hk' was officially owned by Hong Kong University."[28] This was not confirmed officially by HKU and no Prof. Yang existed on the roster of the HKU physics department. Confusingly, the DNS record of th-phys.edu.hk listed the street address of HKUST (in Clear Water Bay), not HKU. Moreover, the domain had been registered by Igor Bogdanov, and e-mail messages from Professor L. Yang originated from a dial-up IP address in Paris, France. The registration of th-phys.edu.hk has not been renewed.

Suspicions were consequently raised that Professor L. Yang was in fact a pseudonym of the Bogdanovs.[29] However, Igor Bogdanov has maintained that Professor Yang is a real mathematical physicist with expertise in KMS theory, a friend of his, and that he was posting anonymously from Igor's apartment. As yet, no such individual has come forward publicly to unambiguously identify himself as this "Professor Yang" and to identify his credentials and institutional affiliation, and no published record of this "Professor Yang" has been offered for examination.

Following this pattern, another academic domain name was also registered in Latvia (http://phys-maths.edu.lv/), hosting the "Mathematical Center of Riemannian Cosmology". Again, this apparent educational institution was registered by Igor Bogdanov. When asked why the Center's website had a Latvian top-level domain, Igor claimed that it had been established and hosted by the University of Riga, after the brothers had attended a conference there in either 2001[30] or 2002.[31] This claim was greeted with skepticism and was never confirmed by the University.

[modifier] Diaspora of dispute

At the beginning of 2004, Igor Bogdanov began to post on French Usenet physics groups and Internet forums, continuing the pattern of behavior seen on sci.physics.research. A controversy began on the French Wikipédia when Igor Bogdanov and his supporters began to edit that encyclopedia's article on the brothers, prompting the creation of a new article dedicated to the debate (Polémique autour des travaux des frères Bogdanov). However, the dispute merely spread to the English-language Wikipedia.[32][33]

In 2006, Baez observed on his website how for some time, the Bogdanov brothers and a "large crowd of sock puppets" had been attempting to rewrite the Anglophone Wikipedia's article on the controversy. "Nobody seems to be fooled," he added.[34]

[modifier] Media involvement

At the start of the controversy in 2002, numerous articles were published in worldwide media, such as the New York Times,[12] the Washington Post, the International Herald Tribune, the Economist, and The Chronicle of Higher Education,[11] as well as Pravda, Die Zeit[18] and Le Monde.[13]

In 2002, the Bogdanovs launched a new weekly TV show Rayons X (X Rays) on French public channel France 2. In August 2004, they presented a 90-minute special cosmology program in which they introduced their theory among other cosmological scenarios. They were also frequently invited to numerous TV talk shows to promote their book. The French mainstream media, in both the press and on the Internet, covered the renewed controversy to some extent; media outlets that have reported upon it include Europe 1,[35] Acrimed,[36] and Ciel et Espace.[37]

Image:AvantLeBgBang.jpeg

In 2004, the Bogdanovs published a commercially successful popular science book, Avant Le Big Bang (Before the Big Bang), based on a simplified version of their theses, where they also presented their point of view about the affair. Both the book and the Bogdanovs' television shows have been criticized for elementary scientific inaccuracies. Examples critics cite from Avant Le Big Bang include a statement that the "golden number" φ (Phi) is transcendental, which the Bogdanovs allege to be an editorial misprint; an assumption that the limit of a decreasing séquence is always zero; and that the expansion of the Universe implies that the planets of the Solar System have grown farther apart.[36]

A journalist from Ciel et Espace interviewed Shahn Majid from the University of London about his report on Grichka Bogdanov's thesis. Later, Majid claimed on a Usenet post[38] that, in an addendum to Avant Le Big Bang, Grichka intentionally misquoted Majid's opinion on the way this interview had been transcribed. Majid wrote that the French version of his report on Grichka's thesis is "an unauthorized translation partially invented by the Bogdanovs". In one sentence, the English word "interesting" was translated as the French "important". A "draft [mathematical] construction" becomes "la première construction [mathematique]". Elsewhere, an added word demonstrates that "Bogdanov does not understand his own draft results", notes Majid, who also describes more than ten other modifications of meaning, each one biased towards "surestimation outrancière" — "outrageous over-estimation". Majid's original report describes, he says, a "very weak" student who nevertheless demonstrated "an impressive amount of determination to obtain a doctorate".[37]

Additionally, in the same addendum, a critical analysis of their work made by post-doc Urs Schreiber, and affirmed by the Bogdanovs as "very accurate", was included with the exception of the concluding remark "Just to make sure: I do not think that any of the above is valid reasoning", thus inverting the meaning from criticism into ostensible support.[24] Moreover, a polite comment of physicist Peter Woit written as, "It's certainly possible that you have some new worthwhile results on quantum groups", was translated as "Il est tout à fait certain que vous avez obtenu des résultats nouveaux et utiles dans les groupes quantiques" ("It is completely certain that you have obtained new worthwhile results on quantum groups") and published by the Bogdanovs in the addendum of their book.[39][37]

In December 2004, the Bogdanovs sued Ciel et Espace for defamation over the publication of a critical article entitled "The Mystification of the Bogdanovs".[34] A French court ruled against the Bogdanovs in September 2006, ordering that they pay 2500 euros to the astronomical association which publishes the magazine and in addition cover the magazine's legal costs.[40]

[modifier] Reflections upon the peer-review system

During the heyday of this Affair, some media coverage cast a negative light on theoretical physics, stating or at least strongly implying that it has become impossible to distinguish a valid paper from a hoax. Overbye's article in the New York Times voiced this opinion,[12] for example, as did Declan Butler's piece in Nature.[17] Posters on blogs and Usenet used the affair to criticize the present status of string theory; for this reason, Woit devoted a chapter of Not Even Wrong, a book strongly critical of string theory, to the Affair. On the other hand, George Johnson's report in the New York Times concludes that physicists have generally decided the papers are "probably just the result of fuzzy thinking, bad writing and journal referees more comfortable with correcting typos than challenging thoughts."[22] Furthermore, as physicist Aaron Bergman pointed out while reviewing Not Even Wrong, Woit's conclusion

is undermined by a number of important elisions in the telling of the story, the most important of which is that the writings of the Bogdanovs, to the extent that one can make sense of them, have almost nothing to do with string theory. [...] I first learned of the relevant papers in a posting on the internet by Dr. John Baez. Having found a copy of one of the relevant papers available online, I posted that "the referee clearly didn't even glance at it." While the papers were full of rather abstruse prose about a wide variety of technical areas, it was easy to identify outright nonsense in the areas about which I had some expertise. [...] A pair of non-string theorists were able to get nonsensical papers generally not about string theory published in journals not generally used by string theorists. This is surely an indictment of something, but its relevance to string theory is marginal at best.[41]

Many comments have been made on the possible shortcomings of the referral system for published articles, and also on the criteria for acceptance of a thesis and subsequent delivery of a Ph.D degree. Frank Wilczek, who edits Annals of Physics (and is now a Nobel laureate), told the press that the scandal motivated him to correct the journal's slipping standards, partly by assigning more reviewing duties to the editorial board.[11]

Prior to the controversy, the reports on the Bogdanov theses and most of the journal referees' reports spoke favorably of their work, describing it as original and containing interesting ideas. This has been the basis of concerns raised about the efficacy of the peer-review system that the scientific community and academia use to determine the merit of submitted manuscripts for publication; one concern is that over-worked and unpaid referees may not be able to thoroughly judge the value of a paper in the little time they can afford to spend on it. Regarding the Bogdanov publications, physicist Steve Carlip remarked:

Referees are volunteers, who as a whole put in a great deal of work for no credit, no money, and little or no recognition, for the good of the community. Sometimes a referee makes a mistake. Sometimes two referees make mistakes at the same time.
I'm a little surprised that anyone is surprised at this. Surely you've seen bad papers published in good journals before this! [...] referees give opinions; the real peer review begins after a paper is published.[42]

Following Carlip's logic, one can infer a measure of the influence the Bogdanov papers have had upon the community by studying the references made to them in physicists' subsequent journal articles. The Bogdanov papers are cited a total of three times on the SPIRES database, for six published papers and one unpublished preprint. For comparison, a recent detailed analysis of citation statistics reveals that between 1000 and 2000 citations are expected from someone who advances to a full professor position or a fellowship in the American Physical Society, and around 8000 citations are expected for members of the United States National Academy of Sciences.[43] To focus on cosmological scenarios, a recent and somewhat controversial cosmological model known as the "ekpyrotic universe" was published in 2001 and has already been cited more than 400 times. Before the controversy arose, the scientific community had shown practically no interest in the Bogdanov papers; indeed, according to Stony Brook physics professor Jacobus Verbaarschot, without the hoax rumors "probably no one would have ever known about their articles."[11]

The Bogdanovs have not, at the time of writing, published any scientific paper since 2003; however, in collaboration with theoretical physicist Arkadiusz Jadczyk, they have founded the International Institute of Mathematical Physics in order to study and develop their theories. Despite the similarity of name, this is unaffiliated with the reputable Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics in Vienna, Austria. Jadczyk has published two papers in peer-reviewed journals claiming this institute as his affiliation. These two papers are not closely related to the issues addressed in the Bogdanovs' previous publications.

On 27 March 2006, E. Capelas de Oliveira and Waldyr A. Rodriguez, Jr. submitted a comment to the arXiv preprint server, claiming that an earlier paper, "On Some Contradictory Computations in Multi-Dimensional Mathematics" by L. A. V. Carvalho,[44] is "a potpourri of nonsense". According to Rodriguez and de Oliveira, the "proofs" in the earlier paper are trivial errors based on nothing more than misunderstandings of calculus concepts.[45] (For example, Carvalho's deductions included the puzzling assertion, "multi-variable mathematics is inconsistent with arithmetic (1 = 0) and also auto-contradictory as calculus is part of this theory".) Author and philosopher of mathematics David Corfield posted a blog entry the next day, asking if this event constituted "another Bogdanoff affair".[46]

[modifier] Comparisons with the Sokal Affair

Several sources have referred to the Bogdanov Affair as a "reverse Sokal" hoax, drawing a comparison with the Sokal Affair, where the physicist Alan Sokal published a deliberately fraudulent and indeed nonsensical article in the humanities journal Social Text. Sokal's original aim had been to test the effects of the intellectual trend he called, "for want of a better term, postmodernism". Worried by this "more-or-less explicit rejection of the rationalist tradition of the Enlightenment," Sokal decided to perform an experiment which he later cheerfully admitted was both unorthodox and uncontrolled, provoking a maelstrom of reactions which, to his surprise, received coverage in Le Monde and even the front page of the New York Times.[47] One of the earliest to draw a comparison between the two events was physicist John Baez, in the seminal post of October 2002 to the sci.physics.research newsgroup.[14]

Both Igor and Grichka Bogdanov have vigorously insisted upon the validity of their work, and possess academic qualifications in the fields in which they are publishing, although the bona fides of their credentials are the very bone of contention. In comparison, Alan Sokal was an outsider to the field in which he was publishing — a physicist, publishing in a humanities journal — and promptly himself issued a statement that his paper was a deliberate hoax; indeed, Sokal published the article to expose the weakness of the journal's peer review process. Replying on sci.physics.research,[48] Sokal referred readers to his follow-up essay,[49] in which he notes "the mere fact of publication of my parody" only proved that one particular journal's editors were "derelict in their intellectual duty". (According to the New York Times, Sokal was "almost disappointed" that the Bogdanovs had not attempted a hoax after his own style. "What's sauce for the goose is sauce for the gander," he said.[22]) Baez, one of the first to make the comparison, later retracted, saying that the brothers "have lost too much face for this to be a plausible course of action."[34]

Cornell physics professor Paul Ginsparg writes that the contrast between the cases is plainly evident: "here, the authors were evidently aiming to be credentialed by the intellectual prestige of the discipline rather than trying to puncture any intellectual pretension." He adds that the fact some journals and scientific institutions have low or variable standards is "hardly a revelation."[50] Both matters have, however, provoked discussion of peer-review reliability, value of academic papers published under credentials alone, and adequate evaluation of scholarly work by academia at large.

[modifier] References

  1. ↑ Lire l'article "les Bogdanov princes de l'auto-science fiction
  2. ↑ "Aberrations dans le cosmos" disponible en ligne, tribune de l'astrophysicien Jean Audouze publié dans le dossier, " les impostures de la science" publié dans le numéro de Novembre 2004
  3. ↑ Critique de Fabien Besnard, Enseignant-chercheur à l'EPF - École d'ingénieurs et auteur, au préalable, d'un article critique sur internet en Octobre 2004
  4. ↑ [1]"la mystification des Bogdanov" par David Fossé paru dans le numéro d'Octobre 2004
  5. ↑ version en ligne de l'éditorial du numéro (321) Juillet 2004, écrit par Philippe Boulanger
  6. ↑ A lire dans le sujet "Physics bitten by reverse Alan Sokal hoax?" du forum sci.physics.research
  7. ↑ [2]"la mystification des Bogdanov
  8. ↑ A lire dans l'entrée "Bogdanov Redux" du blog de Peter Woit
  9. ↑ Annonce no  1529 du J.O. paru le 29 mai 2004 (numéro de parution 20040022).
  10. ↑ William Addams Reitwiesner, « Ancestry of Igor and Grichka Bogdanov ». Consulté le 2006-09-12
  11. ↑ a  b  c  d  e  f  g  h  i  "French TV Stars Rock the World of Theoretical Physics" by Richard Monastersky, The Chronicle of Higher Education, November 5, 2002.
  12. ↑ a  b  c  d  e  f  g  "Are They a) Geniuses or b) Jokers?; French Physicists' Cosmic Theory Creates a Big Bang of Its Own" by Dennis Overbye, The New York Times, November 9, 2002, Section B, Page 7, Column 2. To read a complete copy of the article, see this archived version.
  13. ↑ a  b  c  d  (fr) Hervé Morin. "La réputation scientifique contestée des frères Bogdanov" Le Monde (19 décembre 2002).
  14. ↑ a  b  Modèle:Cite newsgroup
  15. ↑ Aaron Bergman, « The Bogdanov E-mail », 2002-10-29, Blogs Suck. Consulté le 2006-04-30
  16. ↑ Modèle:Cite newsgroup
  17. ↑ a  b  Butler, Declan, « Theses spark twin dilemma for physicists », dans Nature, 2002, 420 [texte intégral]
  18. ↑ a  b  (de) Christoph Drösser, Ulrich Schnabel. "Die Märchen der Gebrüder Bogdanov" ("Fairy tales of the Brothers Bogdanov") Die Zeit (2002), issue 46.
  19. ↑ a  b  Hawkins, Eli, « Referee report for Journal of Physics A », 2003-05-13. Consulté le 2006-07-31
  20. ↑ France 2 TV talk show, Tout le monde en parle, June 12 2004
  21. ↑ "Seriously about Bogdanoffs II" by Luboš Motl, The Reference Frame blog, October 03, 2005, accessed April 21, 2006.
  22. ↑ a  b  c  Johnson, George. "Ideas & Trends: In Theory, It's True (Or Not)" New York Times (17 November 2002), section 4, page 4.
  23. ↑ Modèle:Cite newsgroup
  24. ↑ a  b  Schreiber, Urs, « Sigh », 2004-06-07, The String Coffee Table. Consulté le 2006-07-31
  25. ↑ (fr) Calaque, Damien, « Comments on Grichka Bogdanov's unpublished preprint ». Consulté le 2006-07-31
  26. ↑ " The Bogdanoff papers" by Luboš Motl, The Reference Frame blog, June 16, 2005, accessed April 21, 2006.
  27. ↑ Robert Oeckl, « Review of 'Topological field theory of the initial singularity of spacetime' », MathSciNet. Consulté le 2006-07-16
  28. ↑ "What before big bang?" Google Groups, sci.physics.relativity, response to comment on Sept. 10, 2004, accessed April 21, 2006.
  29. ↑ "Bogdanorama" by Distler, from the blog Musings, June 05, 2004, accessed April 21, 2006.
  30. ↑ (fr) Modèle:Cite newsgroup
  31. ↑ (fr) Modèle:Cite newsgroup
  32. ↑ (fr) Dans les rouages de Wikipedia, Libération, 2006-02-27, pp. 42–3. Consultée le 2006-07-16.
  33. ↑ (fr) Peut-on se fier à Wikipédia?, Micro Hebdo, 2006-06-22, pp. 28.
  34. ↑ a  b  c  Baez, John, « The Bogdanoff Affair », 2006. Consulté le 2006-06-22
  35. ↑ Europe One broadcast
  36. ↑ a  b  Les frères Bogdanov, la science et les médias Acrimed November 29, 2004
  37. ↑ a  b  c  (fr) La mystification Bogdanov, Ciel et Espace, October 2004, pp. 52–55. Consultée le 2006-08-01.
  38. ↑ Usenet post by Shahn Majid, September 30, 2004, accessed April 21, 2006.
  39. ↑ "Bogdanovs Redux" by Peter Woit, from blog Not Even Wrong, June 5th, 2004, accessed April 21, 2006.
  40. ↑ (fr) Les frères Bogdanov condamnés, Ciel et Espace, October 2006. Consultée le 2006-10-07.
  41. ↑ Bergman, Aaron, « Review of Not Even Wrong », 2006-08-19. Consulté le 2006-10-03
  42. ↑ Modèle:Cite newsgroup
  43. ↑ J. E. Hirsch, « An index to quantify an individual's scientific research output », dans PNAS, 2005, 102, p. 16569–72 [texte intégral]
  44. ↑ Carvalho, L. A. V., "On Some Contradictory Computations in Multi-Dimensional Mathematics", Nonlinear Analysis 63, 725-734 (2005).
  45. ↑ E. Capelas de Oliveira, W. A. Rodrigues Jr., "A Comment on 'On Some Contradictory Computations in Multi-dimensional Mathematics'", math.GM/0603599.
  46. ↑ "A New Bogdanoff Affair?", entry on David Corfield's blog Philosophy of Real Mathematics.
  47. ↑ {{{title}}}, 2nd edition. ISBN 1-86197-631-3. 
  48. ↑ Modèle:Cite newsgroup
  49. ↑ (1998-08-27) "{{{title}}}". A House Built on Sand: Exposing Postmodernist Myths about Science. ISBN 0-195-11725-5. 
  50. ↑ Ginsparg, Paul. "'Is It Art?' Is Not a Question for Physics". New York Times (12 November 2002), section A, p. 26.

[modifier] External links

Initial discussion thread:

Thesis and papers:

Some websites critical of the Bogdanovs:

Bogdanov-related sites (pro-Bogdanov):

Some news items about the controversy:

Blog entries:

  • Jacques Distler (1, 2), critical of the Bogdanovs
  • Peter Woit (1, 2, 3), critical of the Bogdanovs
  • Urs Schreiber 1, critical of the Bogdanovs
  • Luboš Motl 1, pro-Bogdanov

fr:Polémique autour des travaux des frères Bogdanoff

[modifier] Pujadas

Mettre de la façon la plus neutre possible, la mini-polémique liée à sa phrase "génial!!!" lorsqu'il vit pour la première fois les images du 11 septembre.

Le 14 Septembre 2001, dans l'émission "+ clair" sur la chaine canal+, un documentaire sur les coulisses du journal télévisé de 20h de France 2 du 11 Septembre, révèle que sa première phrase - à la vue des images du second avion s'écrasant contre la tour sud du World trade center-fut "(...)génial!!!".

[modifier] Pense bête

[modifier] Troisième niveau : comment utiliser les indices

Du texte normal peut contenir un indice pour des notations.

[modifier] Quatrième niveau de titre : et maintenant les exposants

Du texte normal peut contenir aussi un exposant.

[modifier] Cinquième niveau de titre

Pour passer au paragraphe suivant, il faut laisser une ligne blanche. Ici, on est toujours dans le même paragraphe.

Et hop, voici le nouveau paragraphe !

[modifier] Sixième (et dernier) niveau de titre

Normalement, ça doit suffire pour découper un article en détail.