Classement Elo

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Le classement Elo, mis au point par Arpad Elo, est un système d'évaluation de la force d'un joueur d'échecs ou bien, plus généralement, d'un joueur dans un jeu à deux joueurs.

Sommaire

1 Théorie Elo
2 Mode de calcul
- 2.1 Calcul du classement FIDE
3 Statistiques
4 Titre en fonction du nombre de points
5 Classement
6 Références
7 Voir aussi

[modifier] Théorie Elo

Théorie Elo

La formule d'Elo repose sur la résolution d’une équation différentielle avec une hypothèse qui se vérifie relativement bien. Ce qui explique les petites différences que l’on peut constater entre le système Elo et la loi normale.

Prenons 3 joueurs a, b, c.

Les notations $P (a / b)$ , $P (a / c)$ , $P (b / c)$ expriment respectivement la probabilité que a gagne contre b ; la probabilité que a gagne contre c et pour finir la probabilité que b gagne contre c.

On peut écrire : $\frac{P(a/c)}{1-P(a/c)}=\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}\times\frac{P(b/c)}{1-P(b/c)}$ {1}
En prenant le logarithme:
$\ln\left(\frac{P(a/c)}{1-P(a/c)}\right)=\ln\left(\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}\right)+\ln\left(\frac{P(b/c)}{1-P(b/c)}\right)$ {2}
Posons : $D_{ab}=Z\times\ln\left(\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}\right)$ ; de même pour $D a c$ et $D b c$ {3}

Nous obtenons : $D a c = D a b + D b c$ {4}

On peut prendre la fonction inverse de [3] : $\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}=e^{\frac{D_{ab}}{Z}}$

Posons : $\mathcal{E}= e^{\frac{D_{ab}}{Z}}$

En résolvant, on trouve : $P=\mathcal{E}\times(1-P)$ ;

$\mathcal{E}=\mathcal{E}\times P+P$ ;
$\mathcal{E}=P \times (\mathcal{E}+1)$ ;

$P=\frac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}+1}$ ; ou encore $P=\frac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}\times\left(\frac{1}{\mathcal{E}}+1\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{\mathcal{E}}}$ ;

$P=\frac{1}{1+e^{- \frac{D}{Z}}}$ {6};

En différenciant, on trouve: $\frac{dP}{dD}=\frac{e^{- \frac{D}{Z}}}{\left(1+e^{- \frac{D}{Z}}\right)^2}$ {7}, qui est la distribution de Verhulst

Toute la démonstration repose sur la formule 1 qui reste à vérifier, la transposition du logarithme naturel en un logarithme en base 10 étant directe :

On prendra D égal à la différence de classement et Z égal à $\frac{400}{\ln10}$ .

[modifier] Mode de calcul

Les fédérations nationales utilisent souvent un système légèrement différent de celui de la Fédération internationale des échecs (FIDE).

Il existe souvent deux classements distincts : l'un au niveau international, géré par la FIDE, et dit « Classement FIDE » ou « Classement international », et un au niveau national, géré en France par la FFE, par la FQE au Québec, par la FCE au Canada et par la FSE en Suisse, dit « Elo national ». Un joueur peut disposer à la fois d'un classement international et d'un ou plusieurs classements nationaux qui évoluent indépendamment.

Jusqu'en 1993, le seuil minimal du classement FIDE était fixé à 2200^[1], soit le niveau d'un candidat maître, les amateurs ne disposaient que du classement national. Il a été abaissé progressivement jusqu'à atteindre 1400 aujourd'hui, soit le niveau d'un joueur de club moyen, et l'intention de la FIDE et de le baisser jusqu'à 1000^[2].

[modifier] Calcul du classement FIDE

Premier classement

Dans un système suisse où le joueur rencontre au moins trois joueurs classés FIDE :

on détermine le classement moyen des adversaires, R_c.
on calcule le pourcentage de gain contre ces adversaires, p (c'est-à-dire la somme des points obtenus divisée par le nombre de parties)
on détermine d(p) en fonction de la table 10.1^[3]
si p < 0,5, alors R_u=R_c + d(p)
si p = 0,5, alors R_u=R_c
si p > 0,5, alors R_u=R_c + 12,5 points par demi-point obtenu au-dessus de 50%

Dès qu'il existe 9 parties jouées, le premier classement publié sera égal à la moyenne pondérée des R_u de chaque tournoi, arrondie à l'entier le plus proche, si toutefois celle-ci dépasse 1400.

Par exemple, un joueur qui joue trois tournois :

dans le premier, il réalise un R_u=2280 sur 5 parties
dans le second, R_u=2400 sur 10 parties
dans le troisième, R_u=2000 sur 5 parties

Son premier classement sera :

Rn = ( 2280 x 5 + 2400 x 10 + 2000 x 5 ) / 20 = 2270.

Classement habituel

Pour chaque partie jouée contre un joueur classé FIDE :

on détermine la différence d de classement entre le joueur adverse et le sien (ramenée à 350 si elle dépasse 350)
on détermine p(d) à l'aide de la table 10.2^[3]
on détermine un coefficient K qui vaudra :
- K=25 jusqu'à la 30^e partie du joueur, sinon
- K=15 en-dessous de 2400, sinon
- K=10 au-dessus de 2400, et reste à cette valeur ensuite.
soit W le résultat contre l'adversaire (W=1, ½ ou 0), le nouveau classement sera :
R_n = R_o + K x (W - p(d))

Par exemple, si un joueur classé 2600 gagne contre un joueur classé 2700, son nouveau classement sera : 2600 + 10 x ( 1 - 0,36 ) = 2606,4. Pour la publication, on arrondira à l'entier le plus proche.

Le classement FIDE est mis à jour quatre fois par an, et publié le 1^er janvier, 1^er avril, 1^er juillet et 1^er octobre. Si un joueur a moins de quatre parties classées sur une période d'un an, il est considéré comme inactif. Si le classement passe en-dessous de seuil FIDE (1400), il sera retiré de la liste et à nouveau considéré comme un non-classé.

Performance Elo

On utilise la notion de performance Elo pour caractériser la force d'un joueur dans un tournoi, en fonction de la moyenne des classements Elo des adversaires (R_c) et du résultat contre ceux-ci (p), elle est aussi parfois employée comme système de départage d'un tournoi au système suisse :

R_p=R_c + d(p)

[modifier] Statistiques

En 2007 :

Joueur classé 1^er le plus de fois : Garry Kasparov (23 fois).
Plus jeune joueur classé parmi les 100 premiers : Magnus Carlsen (17 ans - N°21).
Plus vieux joueur classé parmi les 100 premiers : Viktor Kortchnoï (76 ans - N°85).

Au 1^er juillet 2007, seuls 4 joueurs avaient dépassé les 2 800 points : Garry Kasparov (2 851 points), Veselin Topalov (2 813 points), Vladimir Kramnik (2 811 points) et Viswanathan Anand (2 803).

[modifier] Titre en fonction du nombre de points

> 1000 : Débutant (enfant)
> 1200 : Débutant
> 1400 : Joueur amateur
> 1600 : Bon joueur de club
> 1800 : Très bon joueur de club
> 2000 : Niveau national
> 2200 : Maître national
> 2400 : M.I. (~ 2565 joueurs) (Maître International)
> 2500 : G.M.I. (~ 1000 joueurs) (Grand Maître International)
> 2600 : Les 150 meilleurs mondiaux
> 2700 : Les 20 meilleurs joueurs mondiaux
> 2800 : Seuls Kasparov, Kramnik, Topalov et Anand ont dépassé les 2800 points

[modifier] Classement

**Liste des 10 premiers mondiaux au 1^er avril 2008**
Rang	Ancien rang	Nom	Nation	Elo (variation)	Parties jouées	Né en
1	2	Viswanathan Anand	Inde	2803 (+4)	27	1969
2	1	Vladimir Kramnik	Russie	2788 (-11)	13	1975
3	4	Alexander Morozevich	Russie	2774 (+9)	11	1977
4	3	Veselin Topalov	Bulgarie	2767 (-13)	27	1975
5	12	Magnus Carlsen	Norvège	2765 (+32)	27	1990
6	10	Levon Aronian	Arménie	2763 (+24)	27	1982
7	6	Shakhriyar Mamedyarov	Azerbaïdjan	2752 (-8)	13	1985
8	12	Teimour Radjabov	Azerbaïdjan	2751 (+16)	27	1987
9	5	Peter Svidler	Russie	2746 (-17)	11	1976
10	8	Péter Lékó	Hongrie	2741 (-12)	27	1979