Topologie grossière

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En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'espace lui-même.

Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble. Intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.

[modifier] Définition

Soit X un ensemble. L'ensemble {X, Ø} définit une topologie sur X appelée topologie grossière.

[modifier] Propriétés

La topologie grossière est la topologie possédant le moins d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X, la définition d'une topologie supposant précisément que X et l'ensemble vide font partie de ces ouverts.

Parmi les autres propriétés d'un tel espace topologique X :

Les seuls fermés sont l'ensemble vide et X.
La seule base possible de la topologie grossière sur X est {X}.
Si X est non vide et de cardinal supérieur ou égal à deux, ce n'est pas un espace de Kolmogorov, ni un espace de Hausdorff.
X est en revanche régulier, complètement régulier, normal et complètement normal.
N'étant pas de Hausdorff, X n'est ni une topologie d'ordre, ni métrisable.
X est compact et donc paracompact, de Lindelöf et localement compact.
Toute fonction dont l'ensemble de définition est un espace topologique et l'ensemble d'arrivée X est continue.
X est connexe.
Tout point de X admet une base dénombrable, X est à base dénombrable et séparable.
Tout sous-espace de X possède la topologie grossière.
Tout espace quotient de X possède la topologie grossière.
Tout espace produit d'espace topologiquement grossiers, muni de la topologie produit ou de la topologie des boîtes, possède la topologie grossière.
Toute suite de X converge vers tout point de X. En particulier, toute suite possède une sous-suite convergente (la suite elle-même) et X est donc séquentiellement compact.
L'intérieur de tout sous-ensemble de X, à l'exception de X lui-même, est vide.
L'adhérence de tout sous-ensemble non-vide de X est X. Tout sous-ensemble non-vide de X est donc dense dans X, une propriété qui caractérise les espaces topologiquement grossiers.
Si S est un sous-ensemble de X ayant au moins deux points, tout élément de X est un point d'accumulation de S. Si S est formé d'un seul point, ses points d'accumulation sont exactement les autres points de X.
X est un espace de Baire.
Deux espaces grossièrement topologiques sont homéomorphes si et seulement s'ils ont même cardinalité.