Espace normal

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En mathématiques, un espace normal est un cas particulier d'espace topologique.

[modifier] Définition

Soit X un espace topologique. On dit que X est normal s'il est T1, et si pour tout couple d'ensembles fermés A et B disjoints, il existe U et V ouverts disjoints tels que: A\subset U et B\subset V.

[modifier] Caractérisation utile

On a la caractérisation suivante, utilisée souvent (dans le lemme d'Urysohn par exemple): X est normal ssi pour tout A fermé, pour tout V ouvert tel que A\subset V, il existe U ouvert tel que A\subset U\subset \overline{U} \subset V. On utilise en fait beaucoup plus souvent le sens direct de cette équivalence.


Démonstration
  • Supposons X normal, et soit A\subset V où A est fermé et V ouvert. Alors A et cV sont deux fermés disjoints donc il existe U,U' ouverts disjoints tels que A\subset U et {}^cV\subset U'. Alors le fermé cU' contient U donc contient \overline{U} et donc \overline{U}\subset V ce qui montre la première implication.
  • Réciproquement, soient A,B fermés de X disjoints. Alors A\subset {}^cB est ouvert donc on peut appliquer la propriété : il existe U ouvert tel que A\subset U \subset \overline{U}\subset {}^cB. Alors U et {}^c\overline{ U} vérifient les propriétés demandées.

[modifier] Références

  • A combinatorial introduction to topology, Mickael Henle
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