Base (topologie)

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En mathématiques, une base d'une topologie est un ensemble d'ouverts tel que tout ouvert de la topologie soit l'union d'éléments de cet ensemble.

[modifier] Définition

Soit un espace topologique (E,T) et B un ensemble d'ouverts de (E,T).

B est une base de (E,T) si tout ouvert de (E,T) est l'union d'éléments de B. On dit alors que B génère la topologie T.

Le concept de base topologique est utile car l'expression de nombreuses propriétés de topologies peut être restreintes à des énoncés sur une base qui les génèrent. Certaines topologies sont également plus facilement définies en termes de base.

[modifier] Propriétés

Soit B une base de (E,T) :

B est un recouvrement de E.
Soit B₁ et B₂ deux éléments de B et I leur intersection. Pour tout élément x de I, il existe un élément B₃ de B contenant x et contenu dans I.

Si un ensemble B de sous-ensembles de E ne satisfait pas à l'une de ces deux propriétés, alors B n'est une base pour aucune topologie de E. Inversement, si un ensemble B satisfait ces deux propriétés, alors il existe une unique topologie sur E dont B est une base, appelée topologie engendrée par B (il s'agit de l'intersection de toutes les topologies sur E contenant B).

Une topologie ne possède pas forcément une unique base ; en fait, plusieurs bases distinctes peuvent générer la même topologie.

[modifier] Objets définis en termes de bases

Une topologie d'ordre est généralement définie par une collection d'ensembles analogues à des intervalles ouverts.
Une topologie métrique est généralement définie par une collection de boules ouvertes.
Un espace à base dénombrable possède précisément une base dénombrable.
Une topologie discrète possède une base définie par ses singletons.

[modifier] Exemples

Sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ :

L'ensemble des intervalles ouverts forment une base de la topologie usuelle sur $\mathbb R$ .
En revanche, l'ensemble des intervalles semi-infinis de type ]−∞, a[ ou ]a, +∞[, où a est un nombre réel, n'est pas une base d'une topologie sur $\mathbb R$ . Par exemple, ]−∞, 1[ et ]0, -∞[ appartiennent bien à cet ensemble, mais leur intersection ]0,1[ ne peut pas être exprimée comme union d'élements de cet ensemble.