Théorème de Millman

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Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien américain Jacob Millman.

Sommaire

[modifier] Énonciation

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances.

V_m=\frac{\sum_{k=1}^N E_k.Y_k}{\sum_{k=1}^N Y_k}=\frac{\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}

Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :

V_m=\frac{\sum_{k=1}^N E_k.G_k}{\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}}{\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}

Avec G, la conductance.


Démonstration

On considère le schéma ci-dessus.

Comme les branches (Zk ; Ek) sont en parallèle, on travaille avec les admittances Y_{k}=\frac{1}{Z_{k}} et des transformations Thévenin-Norton : IN_{k}=E_{k} \times Y_{k} (convention générateur)

Pour chaque branche (source de tension et impédance), on obtient, d'après la loi d'ohm : I_{k}=Y_{k} \times (V_{m}-E_{k})

Ensuite, d'après la loi des nœuds, on a : \sum_{k=1}^N I_{k}=0

soit

\sum_{k=1}^N Y_{k} \times (V_{m}-E_{k})=0

en développant :

\sum_{k=1}^N Y_{k} \times V_{m} = \sum_{k=1}^N Y_{k} \times E_{k}

d'où :

V_{m} = \frac{\sum_{k=1}^N E_{k} . Y_{k}}{\sum_{k=1}^N Y_{k}}=\frac{\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}

[modifier] Applications

Ce théorème est agréable à utiliser si Vm est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire).

[modifier] Bibliographie

[modifier] Notes


[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes