Principe de superposition

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On dit qu'un système est linéaire ou relève du principe de superposition si à la somme de deux excitations correspond la somme des deux réponses correspondantes.

Plus précisément, les excitations étant notées f (par référence aux forces de la mécanique) et les réponses x (par référence aux mouvements), le système est linéaire si :

la réponse $x_1(t)\,$ étant associée à l'excitation $f_1(t)\,$ et la réponse $x_2(t)\,$ associée à l'excitation $f_2(t)\,$ ,
$\lambda_1\,$ et $\lambda_2\,$ étant deux nombres quelconques,
la réponse $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2\,$ est associée à l'excitation $\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2\,$ .

Ce résultat se généralise alors à un nombre quelconque d'excitations. En d'autres termes, si on sait décomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse correspondante en additionnant des réponses individuelles calculables explicitement.

En fait, les systèmes concrets possédant cette propriété sont rarissimes, pour ne pas dire inexistants. Fort heureusement, bon nombre de systèmes peuvent être raisonnablement linéarisés, soit en ignorant les petites non-linéarités dans l'hypothèse des petits mouvements (voir Systèmes oscillants à un degré de liberté), soit en procédant à une linéarisation optimisée dans le cas contraire.

[modifier] Exemples

Dans le cas des circuits électriques composés exclusivement d'éléments linéaires (résistances, capacités, inductances, générateurs de tension ou de courant indépendants ou dépendant linéairement d'un courant, d'une tension, etc.), la réponse dans une branche est égale à la somme des réponses par chaque générateur indépendant pris isolément, en inactivant tous les autres générateurs indépendants (générateurs de tension remplacés par des court-circuits et générateurs de courant par des circuits ouverts).

En mécanique quantique, les particules atomiques peuvent exister dans plusieurs états superposés et simultanés, par exemple un électron qui peut se trouver en deux endroits à la fois, ou un photon qui passe par les deux fentes de Young en même temps.