Théorème de Thévenin

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Le théorème de Thévenin a été initialement découvert par le scientifique Allemand Hermann von Helmholtz en 1853, puis en 1883 par l'ingénieur télégraphe français Léon Charles Thévenin. Ce théorème est une propriété électronique, qui établit qu'un réseau électrique linéaire vu de deux points est équivalent à un générateur parfait dont la tension est égale à la différence de potentiels à vide entre ces deux points, en série avec une résistance égale à celle que l'on mesure entre les points lorsque les générateurs indépendants sont rendus passifs.

[modifier] Détermination du modèle de Thévenin

Communément :

La tension de Thévenin est la tension entre les bornes de la charge lorsque celle-ci est déconnectée (tension à vide).
La résistance de Thévenin est celle mesurée entre les bornes de la charge lorsque celle-ci est déconnectée avec les sources de tension indépendantes remplacées par un court-circuit et les sources de courant indépendantes par un circuit ouvert.

D'un point de vue mathématique, les valeurs de ces éléments peuvent se déduire de celles du modèle de Norton correspondant:

$E_{th} = R_{n} \times I_n$

$R_{th} = R_{n} \$

Avec I_n et R_n, les valeurs respectives de la source de courant et de la résistance équivalente pour le modèle de Norton.

Pour déterminer la tension de Thévenin, on mesure la tension à vide avec un voltmètre aux bornes de la charge.

Pour déterminer la résistance de Thévenin, nous avons 3 méthodes :

On éteint les sources indépendantes et on calcule la résistance équivalente
Si on connait la tension de Thévenin $E_{th}^{}$ , à vide, et le courant de Norton $I_n^{}$ , en court-circuit, on utilise la formule précédente
On place une résistance dont on connaît la valeur sur les bornes de la charge, on prend la tension aux bornes de cette résistance et on utilise le théorème du diviseur de tension.
Un variante courante de cette méthode est celle dite de la demi-tension: On place une resistance variable (précise et étalonnée) sur les bornes de la charge et on mesure la tension. On fait alors varier la valeur de la résistance jusqu'à avoir $\frac{E_{th}}{2}$ , les deux résistances sont alors égales.

[modifier] Démonstration

La démonstration de ce théorème repose sur le principe de superposition, ce qui permet d'étendre la généralité de son application à tous dispositifs électroniques qui fonctionnent linéairement.

On peut imaginer la situation où l'on relie deux dipôles linéaires désignés respectivement par les lettres A et B, le but de la démarche est alors de trouver un schéma équivalent au dipôle A de sorte que son comportement vis à vis du dipôle B reste identique.

Avant de relier les dipôles A et B, on note que les tensions à vide entre leurs bornes sont respectivement $u_A(t)=u_{A0}(t)\,$ et $u_B(t)\,=0$ car on considère tout d'abord pour simplifier la démonstration que le dipôle B ne contient pas de sources électriques et que toutes les grandeurs électriques, en circuit ouvert, y sont initialement nulles (figure a).

On peut ensuite relier les deux dipôles à l'aide d'un court-cicuit qu'on remplace, toutefois de manière équivalente, par deux sources de tension en série $u_1\,$ et $u_2\,$ qui ont une même amplitude égale à $u_{A0}(t)\,$ mais des orientations opposées (figure b). Dans ce nouveau montage, les courants et tensions se voient alors, par application du principe de superposition, comme le résultat de l'action cumulée de deux influences: celle de $u_1\,$ et des sources électriques situées dans A d'une part (figure c) et celle de $u_2\,$ d'autre part (figure d). Cependant, il apparait clairement que la première de ces influences est équivalente à la situation où les deux dipôles se trouvaient en circuit ouvert et qu'elle ne modifie donc pas les grandeurs électriques de B. La source de tension $u_2\,$ d'amplitude $u_{A0}(t)\,$ mis en série avec le dipôle A dans lequel a été annulé l'influence de toutes sources électriques indépendantes peut ainsi sembler comme à l'origine des courants et tensions du dipôle B.

Lorsque le dipôle B contient également des sources électriques indépendantes, on peut encore à l'aide du principe de superposition revenir à la situation précédente et utiliser le même raisonnement. Il suffit pour retrouver cette situation d'annuler les sources électriques, tour à tour dans chaque dipôle, cela permettant de déterminer successivement les dipôles de Thévenin équivalents à A et à B.

[modifier] Exemple

Le circuit original

1^re étape: Calcul de la tension équivalent de sortie

2^e étape: Calcul de la résistance équivalente

3^e étape: Le circuit équivalent

Dans l'exemple, calcul de la tension équivalente:

$V_\mathrm{AB} = {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1}$

$= {1\, \mathrm{k}\Omega + 1\, \mathrm{k}\Omega \over (1\, \mathrm{k}\Omega + 1\, \mathrm{k}\Omega) + 2\, \mathrm{k}\Omega} \cdot 15 \mathrm{V}$

$= {1 \over 2} \cdot 15 \mathrm{V} = 7.5 \mathrm{V}$

(Notez que R₁ n'est pas prise en considération, car les calculs ci-dessus sont faits en circuit ouvert entre A et B, par suite, il n'y pas de courant qui passe à travers R₁ et donc aucune tension ne sort de cette partie)

Calcul de la résistance équivalente :

$R_\mathrm{AB} = R_1 + \left ( \left ( R_2 + R_3 \right ) \| R_4 \right )$

$= 1\, \mathrm{k}\Omega + \left ( \left ( 1\, \mathrm{k}\Omega + 1\, \mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\, \mathrm{k}\Omega \right )$

$= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left({1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1 \over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right)^{-1} = 2\, \mathrm{k}\Omega$

[modifier] Liens externes

[pdf](en) Historique du concept de circuit équivalent.
(en) Autres preuves du théorème:[1], [2].

[modifier] Références

Léon C. Thévenin, Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes (Annales Télégraphiques, 1883) tome 10, p222~224.
Léon C. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique (C. R. des Séances de l’Académie des Sciences, 1883) p159~161.