Théorème d'Ascoli

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant l'analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En analyse fonctionnelle, le théorème d'Ascoli est un puissant résultat caractérisant les parties relativement compactes de l'espace des fonctions continues définies sur un espace métrique compact à valeurs dans un espace métrique complet (espace vectoriel normé complet). Il se généralise sans difficulté aux espaces topologiques localement compacts, localement séparables, et dénombrables à l'infini.

Ce théorème est connu pour son nombre considérable d'applications (complétude de certains espaces fonctionnels, compacité de certains opérateurs, dépendance en les conditions initiales dans les équations différentielles ...).

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Condition nécessaire
- 2.2 Condition suffisante
3 Opérateurs à noyau

[modifier] Énoncé

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées. Dans un espace vectoriel topologique séparé, les parties relativement compactes restent bornées ; mais la réciproque est fausse. Le théorème d'Ascoli traite du cas de l'espace des fonctions continues :

Soient $(K,\delta)\;$ un espace métrique compact et $(F,d)\;$ un espace métrique complet. L'espace $\mathcal{C}^0(K,F)$ des fonctions continues de K dans F est un espace métrique complet.

Une partie A de $\mathcal{C}^0(K,F)$ est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont respectées :

A est équicontinue, i.e pour tout $x \in K$ , on a

$\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall f \in A, \forall y \in K, \delta(x,y) \leq \eta \Rightarrow d(f(x),f(y)) < \varepsilon$

Pour tout $x \in K$ , l'ensemble $A(x) = \{f(x) : f \in A\}$ est relativement compact.

Un ensemble de fonctions r-lipschitziennes est un exemple d'ensemble équicontinu.

Il existe de nombreuses variantes du théorème d'Ascoli.

[modifier] Démonstration

Le théorème d'Ascoli établit une équivalence. Les deux implications sont démontrées séparément. Les notations sont celles de l'énoncé ci-dessus.

[modifier] Condition nécessaire

Supposons que A soit relativement compact. Comme $\mathcal{C}^0(K,F)$ est un espace métrique complet, A est précompact. Autrement dit pour tout réel $\varepsilon >0$ , on peut choisir un nombre fini d'éléments $f 1,..., f p$ dans A tel que :

$A \subset\cup_1^{p} B\left(f_j,\varepsilon\right)$ .

Littéralement, toute fonction f dans A se trouve à une distance au plus $ε$ de l'un des $f j$ . Pour x fixé dans K, toute image $f (x)$ se trouve donc à une distance au plus $ε$ de l'un des $f j (x)$ . Donc :

$A(x)\subset \cup_1^{p} B\left(f_j(x),\varepsilon\right)$ .

Une telle inclusion étant valable pour tout $\varepsilon>0$ , l'ensemble $A(x)\;$ précompact. Comme F est complet, il est relativement compact.

En outre, les fonctions $f j$ sont continues sur le compact $K\;$ et donc, par le théorème de Heine sont uniformément continues. En particulier :

$\exists\eta_j, \;\forall x,y \in K, \;\delta(x,y)<\eta_j\Rightarrow d(f_j(x),f_j(y))<\varepsilon$ .

Posons $\eta=\min_{1\le j\le p}\eta_j>0$ . Soient $x, y$ deux points quelconques dans K vérifiant $δ(x, y) < η$ . Pour une fonction f dans A, il existe un indice j pour lequel $\max d(f(z),f_j(z))<\varepsilon$ . Par choix de $η$ , l'implication ci-dessus donne : $d(f_j(x),f_j(y))<\varepsilon$ . L'inégalité triangulaire donne :

$d(f(x),f(y))\le d(f(x),f_j(x))+d(f_j(x),f_j(y))+d(f_j(y),f(y))<\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon$

Cette inégalité, vérifiée par tous x et y tels que $d (x, y) < η$ , reste valable pour toute fonction $f \in A$ . D'où l'équicontinuité de $A\;$ .

[modifier] Condition suffisante

La réciproque est le sens le plus souvent utilisé et demande plus d'attention. On souhaite démontrer qu'une partie équicontinue A de $C 0 (K, F)$ telle que A(x) soit relativement compacte pour tout x, est relativement compacte. Comme $C 0 (K, F)$ est un espace métrique, il revient au même d'établir que l'adhérence de A est séquentiellement compacte ; ou encore que toute suite d'éléments de l'adhérence de A admet au moins une valeur d'adhérence.

Soit donc $(f_p)_{p}\;$ suite de $\overline A$ . Comme $K\;$ est un espace métrique compact, il est séparable et on peut donc se donner une partie dénombrable dense $D=\;$ { $a_k, k\in\mathbb N$ }. Introduisons $E=\prod_{k\in\mathbb N}\overline {A(a_k)}$ .

Par hypothèses, $A(x)\;$ est relativement compact pour tout $x\in K$ ; autrement dit, son adhérence est une partie compacte de $F\;$ . L'espace $E\;$ est défini comme le produit dénombrable d'espaces métriques compacts ; c'est donc lui même un espace métrique compact.

A chaque $f\in \overline A$ , on fait correspondre l'élément $(f(a_k))_{k}\;$ de $E\;$ . Donc, à chaque $(f_p)_{p}\;$ , on fait correpondre $h_p=(f_p(a_k))_{k} \in E$ . De la suite $(h_p)_{p} \in E^{\mathbb N}$ , on peut extraire, par compacité de E, une sous-suite convergente $(h_{\varphi(p)})_{p}\;$ qui converge vers $h=(h^{(k)})_{k}\;$ . La continuité des projections $p_k\;$ sur chacun des facteurs de E donne : $\forall k, p_k(h_{\varphi(p)})=f_{\varphi(p)}(a_k) \rightarrow h^{(k)}\in F$ . Autrement dit, la sous-suite $(f_{\varphi(p)})_{p}$ est simplement convergeante en tout point de $D\;$ .

De plus, $(f_{\varphi(p)})_{p}\in \overline A^{\mathbb N}$ donc est équicontinue par le premier point. Sachant que si une suite de fonctions d'un espace métrique compact $K\;$ dans un espace métrique complet $F\;$ est simplement convergente sur une partie dense de $K\;$ et est équicontinue alors cette suite est uniformément convergente sur $K\;$ . On en déduit que la sous-suite $(f_{\varphi(p)})_{p}$ est uniformément convergente sur $K\;$ donc $(f_{\varphi(p)})_{p}$ converge dans $\mathcal{C}^0(K,F)$ muni de la topologie de la convergence uniforme et donc $A\;$ est relativement compacte.