Valeur d'adhérence

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Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Voir aussi
4 Notes et références

[modifier] Définition

Soit E un espace topologique. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb(N)}$ une suite d'éléments de E. Soit a un élément de E. On dit que a est valeur d'adhérence de la suite $(u n)$ si tout voisinage de a possède une infinité de termes de la suite (dans le sens où il existe une infinité de n tels que $u n$ appartienne au voisinage donné).

Il suffit pour cela qu'il existe une sous suite de $(u n)$ qui converge vers a. Cette dernière condition est équivalente à la définition si tout point de E admet une base dénombrable de voisinages. C'est le cas par exemple des espaces métriques.

Plus généralement, si f est une fonction d'un espace topologique E dans un espace topologique F, on dit que y est une valeur d'adhérence de f en un point x de E si y est adhérent aux images par f de tous les voisinages de x.

[modifier] Exemples

dans un espace compact, toute suite admet une valeur d'adhérence. Si, dans un tel espace, une suite admet une seule valeur d'adhérence, alors elle converge vers cette valeur d'adhérence.

dans $\R$ , la suite $(( - 1) n)$ admet $1$ et $- 1$ comme valeurs d'adhérence.

dans $\R$ , la suite $(sin(n))$ admet l'intervalle $[ - 1,1]$ comme ensemble de valeurs d'adhérence.

dans $\R$ , la suite $(( - 1) n n)$ n'admet pas de valeur d'adhérence. Mais dans la droite réelle achevée, la même suite admet $+\infty$ et $-\infty$ comme valeurs d'adhérence.

dans $\R$ , la suite $(( - 1) n n + n)$ admet 0 comme unique valeur d'adhérence mais ne converge pas. Dans la droite réelle achevée, la même suite admet $+\infty$ et 0 comme valeurs d'adhérence.

dans $\R$ , la plus grande (respectivement petite) valeur d'adhérence d'une suite est la limite supérieure (respectivement inférieure) de la suite.

Considérons l'ensemble E égal à la réunion de $\N \times \N$ et d'un singleton ${ω}$ . Munissons E de la topologie séparée suivante. Les points $(n, m)$ de $\N \times \N$ sont isolés et les voisinages de ${ω}$ sont les parties U de E contenant ${ω}$ et vérifiant la condition :