Théorème de Baire

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Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

[modifier] Théorème de Baire (dit aussi Lemme de Baire)

Un espace topologique localement compact $E$ est de Baire ;
Un espace métrique complet $(E, d)$ (notamment un espace de Banach) est de Baire ;
Tout ouvert d'un espace de Baire est un espace de Baire.

Démonstration

Dans ce qui suit, $i n t (A)$ désigne l'intérieur d'une partie $A$ de $E$ .

Soit $(A_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'ouverts denses dans $E$ localement compact. Soit $V$ un ouvert quelconque (non vide); nous voulons montrer que :

$\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n$

rencontre cet ouvert. Comme $E$ est localement compact, on peut sans perte de généralité supposer que cet ouvert est relativement compact (ie d'adhérence compacte).

Puisque $A 1$ est dense, il rencontre $V$ : soit $x_1 \in A_1 \cap V$ . Ce dernier ensemble, intersection de deux ouverts, est ouvert. Il existe donc un voisinage compact $U_1 \subset A_1 \cap V$ de $x 1$ (car il existe un système fondamental de voisinages compacts). Une fois $U 1$ choisi, $A_2 \cap int(U_1)$ est un ouvert non vide. Il existe donc un compact $U_2 \subset A_2 \cap int(U_1) \neq \varnothing$ .

En itérant cette construction, on obtient une suite de compacts $\bar V = U_0 \supset U_1 \supset U_2 \supset \cdots \supset U_n \supset \cdots$ avec $\forall j\in\mathbb N^*, int(U_j) \neq \varnothing, \quad U_j \subset A_j \cap int(U_{j-1})$ .

Or, $\bigcap_{n=0}^{+\infty} U_n \subset \bigcap_{j=1}^{+\infty} (A_j \cap {U_{j-1}}) \subset V \cap \left ( \bigcap_{j=1}^{+\infty} A_j \right )$ et l'intersection des $U n$ est non vide. En effet, les $U j$ sont des parties compactes de $U_0 = \bar V$ ; si leur intersection était vide, il en serait de même pour une certaine suite finie extraite (propriété de Borel-Lebesgue). Or, les $U n$ sont une suite décroissante d'ouverts non vides donc cela est impossible. Finalement, $V \cap \left ( \bigcap_{j=1}^{+\infty} A_j \right ) \neq \varnothing$ , ce qui prouve le résultat.

Dans le cas où $E$ est un espace métrique complet, le raisonnement est analogue. Soit $V$ une boule fermée centrée en $a\in E$ et de rayon strictement positif. Il existe une suite de boules fermées de centre $x n$ et de rayon inférieur à $\frac 1n \quad (n\geq 1)$ telles que $V=B_0 \supset B_1 \supset B_2 \supset \cdots$ avec $\forall j\in\mathbb N^*, int(B_j) \neq\varnothing, \quad B_j \subset A_j \cap int(B_{j-1})$ . La suite des $B n$ étant décroissante, on a $\forall p \in \mathbb N, d(x_{n+p}, x_n) \leq \frac 1n$ . La suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ est donc une suite de Cauchy : elle converge donc vers un élément $x$ qui appartient à toutes les $B n$ et $x\in \left ( \bigcap_{n=1}^{+\infty} B_n \right) \cap V \subset \left( \bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n \right ) \cap V$ , ce qui prouve le résultat.

[modifier] Quelques applications du lemme de Baire

Analyse fonctionnelle
Connexité du tipi de Cantor
Théorème de superposition de Kolmogorov
Caractérisation des polynômes réels : Si $f$ est une fonction $C^{\infty}$ telle que $(\forall x \in \mathbb{R}) (\exists n \in \mathbb{N}) (f^{(n)}(x)=0)$ , alors $f$ est un polynôme (noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente $(\exists n \in \mathbb{N}) (\forall x \in \mathbb{R}) (f^{(n)}(x)=0)$ ). Ici, $f (n)$ désigne la dérivée n-ième de $f$ .
La boite à Baire (BwataBaire) est un wiki qui se propose de recenser diverses applications du lemme de Baire, et de réfléchir aux relations qu'il entretient avec des phénomènes similaires (uniformisation...).