Rotationnel du rotationnel

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Dans le cadre de l'analyse vectorielle, on peut être amené à calculer le rotationnel d'un rotationnel.

Sommaire

1 Formule classique en espace plan
- 1.1 Démonstration
- 1.2 Développement de la démonstration
2 Formule en espace courbe
3 Applications en physique
4 Bibliographie

[modifier] Formule classique en espace plan

La formule classique est :

${\overrightarrow{\mathrm{rot}}}({\overrightarrow{\mathrm{rot}}} \vec A) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\,\vec{A}) - \vec\Delta \vec{A}$
ou
$\vec\nabla \times \left(\vec\nabla \times \vec{A}\right) = \vec\nabla \left(\vec\nabla \cdot \vec{A}\right) - \vec\Delta \vec{A}$

L'opérateur laplacien vectoriel $\vec\Delta$ se note également $\vec\nabla^2$ .

[modifier] Démonstration

On cherche $c_n ,\ n\in\{1,2,3\},\ \vec A = (a_1,a_2,a_3)$ :

$c_n = [\vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec A)]_n$

D'après la définition du produit vectoriel en utilsant le symbole de Levi-Civita et la convention de sommation d'Einstein:

$c_n = \epsilon_{nmi}\epsilon_{ijk}\partial_m \partial_j a_k$

Comme $\mathbf{\epsilon}_{nmi}\epsilon_{ijk} = \delta_{jn}\delta_{km}- \delta_{kn}\delta_{jm}$ :

$c_n = (\delta_{jn}\delta_{km}-\delta_{kn}\delta_{jm})\partial_m \partial_j a_k$ $c_n = \delta_{jn}\delta_{km}\partial_m \partial_j a_k-\delta_{kn}\delta_{jm}\partial_m \partial_j a_k$

En remarquant que, pour n'importe quels indices $\delta_{jn}\partial_j = \partial_n, \delta_{km}\partial_m = \partial_k,\delta_{kn}a_k = a_n,\delta_{jm}\partial_j = \partial_m$ , on a :

$c_n = \partial_n\partial_k a_k - \partial^2_m a_n$

En remarquant que les indices k et m sont muets par rapport à la sommation, et en tenant compte des définitions du laplacien, de la divergence et du gradient, on a :

$c_n = [\vec\nabla(\vec\nabla \cdot \vec A) - \vec\nabla^2 \vec A]_n$ ,

ce qui finit la démonstration.

[modifier] Développement de la démonstration

Soit le champ vectoriel $\vec A$ :

$\vec A = \begin{pmatrix} A_x\\A_y\\A_z \end{pmatrix} \ avec \ A_x = f_1(x,y,z), A_y = f_2(x,y,z) \ et \ A_z = f_3(x,y,z)$

D'après la définition du rotationnel, on a: (Le signe $\times$ désigne le produit vectoriel)

${\overrightarrow{\mathrm{rot}}} \vec A =\vec\nabla \times \vec A = \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} A_x\\A_y\\A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix}$

Donc:

${\overrightarrow{\mathrm{rot}}}({\overrightarrow{\mathrm{rot}}} \vec A) = \vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec A) = \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (\frac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2}) - (\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial z})\\ (\frac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}) - (\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial x\partial y})\\ (\frac{\partial^2 A_x}{\partial x\partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2}) - (\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial y\partial z}) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial z} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_x}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_x}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} \end{pmatrix}$

D'après la définition de la divergence, on a:

$\mathrm{div} \vec A = \vec \nabla \cdot \vec{A} = \frac {\partial A_x} {\partial x} + \frac {\partial A_y} {\partial y} + \frac {\partial A_z} {\partial z}$

D'après la définition du gradient, on a:

$\vec \mathrm{grad}(\mathrm{div} \vec A) = \vec \nabla(\vec \nabla \cdot \vec{A}) = \begin{pmatrix} \frac {\partial^2 A_x} {\partial x^2} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial x\partial y} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial x\partial z} \\ \frac {\partial^2 A_x} {\partial x\partial y} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial y\partial z} \\ \frac {\partial^2 A_x} {\partial x\partial z} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial y\partial z} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial z^2} \end{pmatrix}$

D'après la définition du laplacien vectoriel, on a:

$\vec \Delta \vec A = \vec \nabla^2 \vec A = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \end{pmatrix}$

Il s'en suit que:

$\vec \nabla(\vec \nabla \cdot \vec{A}) - \vec \Delta \vec A =\begin{pmatrix} \frac {\partial^2 A_x} {\partial x^2} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial x\partial y} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial x\partial z} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac {\partial^2 A_x} {\partial x\partial y} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac {\partial^2 A_x} {\partial x\partial z} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial y\partial z} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial z^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} (\frac {\partial^2 A_x} {\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2}) + \frac {\partial^2 A_y} {\partial x\partial y} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial x\partial z} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ (\frac {\partial^2 A_y} {\partial y^2}- \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2}) + \frac {\partial^2 A_x} {\partial x\partial y} + \frac {\partial^2 A_z} {\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ (\frac {\partial^2 A_z} {\partial z^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}) + \frac {\partial^2 A_x} {\partial x\partial z} + \frac {\partial^2 A_y} {\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial z} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_x}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_x}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} \end{pmatrix}$

$= \vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec A)$

[modifier] Formule en espace courbe

La formule classique n'a plus lieu d'être dans un espace courbe, parce que les opérateurs dérivation covariante successifs d'un vecteur ne commutent pas. La formule est dans ce cas :

$\left( \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) - \left(\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf{A}\right) - \nabla^2 \mathbf{A} \right)\right)^{\alpha} = - R^{\alpha}{}_{\beta} A^{\alpha}$

où $R α β$ est le tenseur de Ricci tridimensionnel.

[modifier] Applications en physique

Considérons les équations de Maxwell dans le vide :

$\vec\nabla\cdot\vec{B} = 0\qquad(1)$ $\vec\nabla\cdot\vec{E} = 0\qquad(2)$ $\vec\nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c^2}\partial_t \vec{E}\qquad(3)$ $\vec\nabla \times \vec{E} = -\partial_t \vec{B}\qquad(4)$

Dérivons par $t$ les deux parties de la troisième équation :

$\vec\nabla \times \partial_t\vec{B} = \frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec{E}$

En injectant la valeur de $\partial_t B$ de la quatrième équation, on a :

$- \vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec{E}) = \frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec{E}$

Ici, on applique le résultat qu'on a démontré plus haut, c.-à-d. $\nabla \times (\nabla \times E) = \nabla (\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}$ , mais le premier membre ( $\nabla (\nabla \cdot \vec{E})$ ) s'annule, à cause de la deuxième des équations de Maxwell, citée ci-dessus. On a donc :

$\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec{E} = -\nabla^2\vec E = - \Delta \vec{E}$

Analogiquement, en appliquant la même technique pour le champ $B$ on a :

$\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec{B} = - \Delta \vec{B}$

Ce sont des Équations de d'Alembert, qui ont des solutions en ondes planes, qui sont appelées électromagnétiques, et qui se propagent avec une vitesse $c$ (jusqu'ici, on n'a fait aucune hypothèse sur $c$ ).