Nombre parfait

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En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, un nombre parfait est un nombre entier n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que $\sigma(n) = 2n \,$ où $\sigma(n) \,$ est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n compris.

Le premier nombre parfait est 6, car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.

[modifier] Propriétés

Le mathématicien Euclide, au III^e siècle av. J.-C., a découvert et prouvé que si $M=2^p-1\,$ est premier, alors $M\cdot\left ( \frac{M+1}{2} \right ) = 2^{p-1}(2^p - 1)$ est parfait.

Ainsi :

$6 = 2 1 (2 2 - 1)$
$28 = 2 2 (2 3 - 1)$
$496 = 2 4 (2 5 - 1)$
$8128 = 2 6 (2 7 - 1)$
...

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIII^e siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p-1).

Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré dans Journal of Integer Sequences 3, 2000, Article 00.1.2 que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux. ^[1]

[modifier] Exemples

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité. Depuis, le total est passé à 44 nombres parfaits seulement (au 11/09/2006).

Les douze premiers nombres parfaits sont :

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128

La liste complète se trouve sur le site de J. Pedersen.

[modifier] Curiosité

En divisant chacune des égalités ci-dessus par le nombre parfait correspondant, on découvre une propriété de certaines fractions égyptiennes :

1 = 1/6 + 1/3 + 1/2
1 = 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2
et ainsi de suite

[modifier] Conjectures

L'affirmation "il n'existe aucun nombre parfait impair" est une conjecture. En effet, on ignore s'il existe des nombres parfaits impairs; un tel nombre doit avoir au moins 11 facteurs premiers distincts dont au moins un est supérieur à 300 000; un nombre parfait impair doit être supérieur à $10300$ . L'espoir de trouver un jour un nombre parfait impair n'est pas totalement exclu, dans le sens où il existe des nombres impairs presque parfaits (spoof perfect numbers). Considérons par exemple le nombre suivant :

198585576189 = 22021 × 3² × 7² × 11² × 13²

Un tel nombre serait parfait si le 22021 était un facteur premier, ce qui n'est pas le cas.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne. On ne sait pas non plus s'il existe une infinité de nombres parfaits.

On peut également remarquer que tous les nombres parfaits découverts se terminent soit par 6, soit par 28.

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

[modifier] Liens externes

Géométrie des nombres premiers et des nombres parfaits

[modifier] Notes et références

↑ (en) The Kaprekar Numbers

Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation :	Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs :	Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
Nombres de diviseurs :	Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant · Nombre hautement composé
Autres :	Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire · Nombre sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal · Nombre équidigital · Nombre extravagant