Nombre hautement composé

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Un nombre hautement composé est un entier qui possède plus de diviseurs que n'importe quel entier positif inférieur à lui.

Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont :

nombres hautement composés (la séquence A002182 de l'OEIS)	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1260	1680	2520	5040	7560	10080	...
nombres de diviseurs (la séquence A002183 de l'OEIS)	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64	72	...

Il existe une infinité de nombres hautement composés. Pour prouver cette affirmation, supposons que n est un nombre hautement composé arbitraire. Alors 2n possèdera plus de diviseurs que n (2n est un diviseur et sont tous les diviseurs de n) et ainsi, certains nombres plus grands que n (mais pas plus grand que 2n) doivent donc être hautement composés.

En gros, pour qu'un nombre soit un nombre hautement composé il doit posséder des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes.

Écrivons la décomposition d'un nombre n en facteurs premiers comme suit:

$n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}$

avec $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ premiers, et des exposants $c i$ entiers non nuls. Alors, le nombre de diviseurs de n est exactement:

$(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1)$ .

Par conséquent, pour que n soit hautement composé:

il faut que les nombres premiers cités soient les k plus petits nombres premiers (2, 3, 5, ...); sinon, on pourrait remplacer un des $p i$ par un nombre premier plus petit, et obtenir un nombre inférieur à n ayant le même nombre de diviseurs (par exemple 10=2×5 peut être remplacé par 6=2×3, chacun a 4 diviseurs);
il faut que $c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k$ ; sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue n tout en conservant le même nombre de diviseurs (par exemple 18=2¹×3² peut être remplacé par 12=2²×3¹, chacun a 6 diviseurs).

On peut aussi montrer qu'il faut que c_k = 1, sauf dans deux cas particuliers n=4 et n=36.

Les nombres hautement composés supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait. Les nombres hautement composés sont également décomposables en produits de primorielles.

Beaucoup de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliquées.

Si Q(x) représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à x, alors il existe deux constantes b et c, toutes les deux plus grandes que 1, nous avons

${\ln x}^b \le Q(x) \le {\ln x}^c\,\!$ .

La première partie de l'inégalité fut prouvée par Paul Erdős en 1944 et la seconde partie par J.-L. Nicholas en 1988.

Sommaire

1 Exemple
2 Voir aussi
- 2.1 Articles connexes
- 2.2 Liens externes

[modifier] Exemple

Exemple du nombre hautement composé : 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7 qui n'a pas moins de soixante-douze diviseurs.
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 312	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105

Les nombres en gras sont eux-mêmes des nombres hautement composés.
Seul le vingtième nombre hautement composé 7560 (=3×2520) est absent.

10080 est également un nombre de facteurs premiers inférieurs à sept.
C'est alors un nombre 7-lisse, cf. la séquence A002473 de l'OEIS.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
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