Nombre amical

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, deux nombres entiers n et m sont dits amicaux ou amiables si \sigma(n) = \sigma(m) = m+n\,\! où \sigma(x)\,\! est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers positifs de x\,\!, incluant x\,\! lui-même. Autrement dit, la somme des diviseurs de n (n exclus) vaut m et la somme des diviseurs de m (m exclus) vaut n.

Naturellement, cela implique que si l'un des deux nombres est abondant, alors l'autre est déficient. Les nombres parfaits sont amicaux avec eux-mêmes.

Voici les paires de nombres amicaux de moins de six chiffres :

  • 220 et 284
  • 1184 et 1210
  • 2620 et 2924
  • 5020 et 5564
  • 6232 et 6368
  • 10 744 et 10 856
  • 12 285 et 14 595
  • 17 296 et 18 416
  • 63 020 et 76 084
  • 66 928 et 66 992
  • 67 095 et 71 145
  • 69 615 et 87 633
  • 79 750 et 88 730

Sommaire

[modifier] Éléments historiques

Il n'existe pas de formule ou méthode connue pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts. Thabit Ben Korrah (ca. 850 A.D.) nota que :

Si

n > 1 \,\! et si
p = 3\times2^{n-1}-1\,\!,
q = 3\times2^n-1\,\! et
r = 9\times2^{2n-1}-1\,\! sont premiers, alors
2^npq\,\! et 2^nr\,\! sont amicaux.

Il fallut cependant des siècles pour que cette formule produise les deuxième et troisième paires de nombres amicaux ! Fermat annonça la paire 17 296 - 18 416 (n=4) dans une lettre à Mersenne en 1636. Descartes écrivit à Mersenne en 1638 pour lui signaler la paire 9 363 584 - 9 437 056 (n=7). La paire (6232, 6368) est amicale, mais ne peut pas être déduite à partir de cette formule. Euler ajouta quant à lui une liste de 64 nouveaux nombres amicaux, mais commit deux erreurs qui furent découvertes en 1909 et 1914. En 1866 un jeune garçon de seize ans, Nicolo Paganini, découvrit la paire 1184 - 1210 qui avait été ignorée jusque là.

Des recherches par ordinateur ont permis de trouver toutes les paires de nombres amicaux de moins de 10 chiffres ainsi que quelques autres encore plus grands pour en arriver à un total de 7500 paires. On n'a pas pu déterminer s'il existe un nombre infini de paires ni s'il existe une paire de nombres premiers entre eux. Si une telle paire existe, chacun des nombres doit comporter plus de 15 chiffres et leur produit doit être divisible par au moins 22 nombres premiers.

[modifier] Numérologie

Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple, certains commentateurs juifs de la Genèse pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à son frère aîné Ésaü quand il commença à craindre que ce dernier le tue (Genèse 32:14) parce que 220 est un nombre amical[1]. Le philosophe Iamblichus de Chalcis (ca. 250-330 A.D.) écrit que « les pythagoriciens connaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui « était un autre lui » comme le sont 220 et 284 ».

[modifier] Références

  1. ↑ Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, American Mathematical Society, 1999 (ISBN 0821819364)

[modifier] Voir aussi


Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation : Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs : Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
Nombres de diviseurs : Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant · Nombre hautement composé
Autres : Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire · Nombre sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal · Nombre équidigital · Nombre extravagant