Primorielle
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Pour n > 1, la primorielle n, notée 
ou P(n), est le produit de tous les nombres premiers inférieurs (ou égaux) à n. Par exemple, P(7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 est une primorielle. Ces nombres furent nommés ainsi par Harvey Dubner.
L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de P(p)+1 est en effet plus grand que p. Il est possible que P(p)+1 lui-même soit premier, c'est alors un nombre premier primoriel.
Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles (exemple 360= 2 x 6 x 30).
[modifier] Progressions arithmétiques et primorielles
Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche des nombres premiers en progression arithmétique [réf. nécessaire].
Par exemple 2236133941 + k × P(23) est un nombre premier pour k = 0, 1, ..., 15, ce qui donne une suite de 16 nombres premiers en progression arithmétique de raison P(23).
[modifier] Table des premières primorielles
Voici les premières primorielles. Voir aussi la séquence A002110 de l'OEIS.
| p | P(p) |
|---|---|
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 5 | 30 |
| 7 | 210 |
| 11 | 2310 |
| 13 | 30030 |
| 17 | 510510 |
| 19 | 9699690 |
| 23 | 223092870 |
| 29 | 6469693230 |
| 31 | 200560490130 |
| 37 | 7420738134810 |
| 41 | 304250263527210 |
| 43 | 13082761331670030 |
| 47 | 614889782588491410 |
| 53 | 32589158477190044730 |
| 59 | 1922760350154212639070 |
| 61 | 117288381359406970983270 |
| 67 | 7858321551080267055879090 |
| 71 | 557940830126698960967415390 |
| 73 | 40729680599249024150621323470 |
| 79 | 3217644767340672907899084554130 |
| 83 | 267064515689275851355624017992790 |
| 89 | 23768741896345550770650537601358310 |
