Discuter:Forme différentielle de degré un

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Hello,

L'intérêt pour moi de faire un article à part sur le degré 1 c'était de mettre en premier tout ce qui est accessible (niveau L dans LMD) et de conclure avec tout ce qui est plus élevé : formes diff de degré plus grand et variétés que j'avais pensé évoquer à la fin.

Je trouve que le changement de plan rend l'article beaucoup plus difficile d'accès, et dans ce cas, je ne vois pas l'intérêt de le séparer de l'article général sur les formes diff. Peps 14 mai 2007 à 14:12 (CEST)

Tu oublies qu'on n'écrit pas un livre mais un article encyclopédique. Peu importe si le lecteur comprend le détail technique du moment qu'il est renvoyé à des livres abordables.
Mon idée est la suivante : on voit à quoi ressemble une 1-forme différentielle sur un ouvert. Comme le font les physiciens, on constate que ces objets se comportent bien si on change de coordonnées. On peut dans un premier temps faire un changement de coordonnées linéaires, ce qui correspond à faire agir la transposée de la matrice de changement de base. Ce changement de coordonnées ne nécessite que des outils d'algèbre linéaire. Mais il apparait indispensable en pratique de comprendre comme les 1-formes différentielles se modifient par des difféomorphismes. Essentiellement, cela revient à faire agir la transposée du "jacobien". On voit donc qu'on peut "recoller" des 1-formes différentielles exprimées dans des cartes locales en un object global sur les variétés. A posteriori, exact et fermé peuvent se définir uniquement sur les 1-formes différentielles sur les ouverts, puis les définitions s'étendent sans réfléchir aux variétés étant entendu que ces notions sont invariantes par les difféomorphismes.
Exact et fermé sont des notions qui se traduisent en terme d'intégration.
On peut très bien parler des objets sans avoir à donner une définition rigoureuse et formelle. Mais je trouve mal approprié de parler de 1-formes exactes et fermées sans préciser immédiatement que ces notions sont de nature géométrique et donc invariante par difféomorphismes.
Ekto - Plastor 14 mai 2007 à 14:35 (CEST)

Ma proposition de plan :

  1. Définition
    1. Modèle local (=ouvert d'un ev)
    2. Changement de coordonnées (=action d'un difféo)
    3. Extensions (=à valeurs dans un ev)
  2. Exactitude
    1. Formes fermées
    2. Intégrales curvilignes
    3. Théorème de Stokes
    4. Cohomologie de de Rham
  3. 1-formes en physique
    1. Principes de conservation
    2. 1-forme de Liouville

Ekto - Plastor 14 mai 2007 à 14:42 (CEST)

tu vois tout sous l'angle du recollement en géométrie différentielle, alors que les physiciens ne définissent pas du tout les choses comme cela par exemple : par exemple ils définissent le rotationnel à partir d'un Stokes local, pas en raccordant quoi que ce soit. Je persiste à dire que je ne vois vraiment pas l'intérêt à traiter ça direct comme les formes diff de degré plus élévé.
mon argument principal c'est de ne pas imposer au lecteur de savoir ce qu'est une variété, un difféo avant d'arriver ici. Parce que pour tout une batterie de choses, on s'en passe forte bien. Peps 14 mai 2007 à 15:06 (CEST)
Pas besoin de savoir ce qu'est un difféomorphisme pour savoir intuitivement à quoi ressemble un recollement. Mon idée n'est pas de donner une présentation formelle. Les difféomorphismes sont secondaires. L'intérêt de présenter les 1-formes différentielles est qu'elles ne demandent pas une connaissance préalable sur l'algèbre multilinéaire, non ?
Pour la physique, tout dépend à quel niveau. Les physiciens ont tendance à définir les objets intuitivement dans des cartes locales, puis à constater que les lois physiques leur impose que ces objets devraient être interprétés comme des sections de fibrés non triviaux.
Ekto - Plastor 14 mai 2007 à 15:35 (CEST)

Sans blaguer, l'algèbre multilinéaire dans un ev c'est 1000 fois plus accessible que la notion de variété (pour quelqu'un de normal j'entends :) ). Peps 14 mai 2007 à 16:19 (CEST)

Mort de rire Oui. Mais quoi ? On n'est pas là pour faire un cours de mathématiques mais pour écrire un article encyclopédique sur un thème donné. Ekto - Plastor 14 mai 2007 à 16:22 (CEST)
à ce compte là il y est déjà, c'est forme différentielle. Je ne vois aucun intérêt à faire un article indépendant si c'est pour refaire pareil !
Un article encyclopédique, c'est un choix de niveau d'écriture. On peut parfaitement rendre tous les articles basiques illisibles, mais je n'en vois pas l'intérêt. Le principe qui me semble préférable c'est que si 80% des choses peuvent être dites sans grimper en difficulté, il vaut mieux les mettre en premier. Du moment que tout y est et que les choses sont correctes, qu'est ce qui te dérange ? Peps 14 mai 2007 à 18:09 (CEST)


En plus, mais c'est un autre problème, l'idée qu'il faut toujours mettre la physique après les maths me choque : les physiciens font des choses plus simples et il n'y a pas d'exigence analogue de rigueur de présentation. J'aurais tendace à mettre la physique bien plus tôt dans le discours, et ce de façon assez générale. Peps 14 mai 2007 à 18:12 (CEST)

Les physiciens font des choses plus simples ? Et la théorie des cordes alors ? C'est plus simple que les maths ?
Plus sérieusement, on est en train de discuter sur rien. Mon reproche portait sur l'organisation des idées (par sur leur contenu) : tu définissais les 1-formes différentielles sur les ouverts puis les 1-formes différentielles exactes sur des ouverts puis les 1-formes différentielles fermées sur des ouverts puis l'intégration curviligne de 1-formes différentielles définies sur des ouverts, puis l'énoncé du théorème de Green et du théorème de Stokes pour les 1-formes différentielles définies sur des ouverts, théorèmes de toute manière difficiles à démontrer sans faire appel à une reformulation en termes propres à la géométrie différentielle. Arrivé à ce stade, le pauvre lecteur épuisé par cette liste de définitions formelles et peu géométriques lit le paragraphe définition sur une variété, puis relirait les mêmes définitions. On redéroule la mécanique et on redit la même chose ? Non, ça serait intenable.
La présentation que je souhaite : on définit les 1-formes différentielles sur des ouverts, puis on présente l'action dessus des difféomorphismes.
  • On explique au lecteur qui connait la définition d'une variété différentielle qu'un tel objet se définit alors naturellement sur les variétés, mais que, pour toutes ses propriétés locales, on peut se contenter de les énoncer dans les cartes, autrement dit pour les 1-formes définies sur des ouverts de Rn, à condition de vérifier l'invariance d'une telle propriété par difféomorphisme. Il ne sera donc pas choqué de ne voir les définitions de formes exactes et formes fermées que pour les ouverts et fera "l'effort intellectuel" d'étendre de lui même les définitions.
  • Pour le lecteur qui ne sait pas ce qu'est une variété, on lui explique seulement que se contenter de comprendre les propriétés globales des 1-formes différentielles définies sur des ouverts c'est déjà pas mal. Hormis le cadre un peu formel, il n'y a rien de nouveau qui apparait pour les variétés.
Comme tu vois, on est d'accord sur le fond, non ? Mais il faut mieux un article condensé dont chaque partie n'offense personne. Sourire Ekto - Plastor 14 mai 2007 à 18:45 (CEST)
  1. pour les physiciens, il va de soi que je fais référence à l'énorme quantité d'utilisations élémentaires du corpus, concernant les formes diff sur l'espace euclidien de dim 3. Après il est évident qu'il y a plus poussé, mais les exemples de base les plus parlants sont ceux de la physique.
  2. non, je ne comptais pas tout recommencer sur les variétés : dire ce qui s'adapte et ce qui change, that's all. Pour moi un problème de topo tel que "1er gpe d'homologie" avait sa place direct dans les variétés sans passer par les ouverts
  3. comme tu le dis toi-même ce n'est pas un cours donc le fait que "ça ne se démontre pas facilement dans cet ordre" ne m'émeut guère
  4. sur plein d'articles tu orientes la démarche ainsi : "on part sur le maximum de généralité : les variétés, et on y adapte tout le discours" (j'ai bien peur que c'est ce que tu prévoies pour orientation (mathématiques) d'ailleurs). Quand même, les Anciens avec les courbes et les surfaces, arrivaient à tenir un discours cohérent sans se préoccuper d'un tel bagage. Pourquoi devrait-on obliger le lecteur à un parcours ? j'aimerais juste que certains articles échappent à cette logique~"implacable" qui me fait justement penser à un cours.
  5. il suffit de voir Green et Stokes pour constater que je ne suis pas un accro du formel : quand il vaut mieux être elliptique pour être compris, je le suis. C'est ce choix de pragmatisme qui me fait aussi privilégier le traitement en dim finie, en coordonnées, car quoiqu'en pense le spécialiste, travailler en coordonnées, c'est déjà immensément plus concret, même si ce n'est pas géométrique. Le point de vue géométrique efficace et formalisé est sur forme différentielle, pas la peine de cloner ici
  6. l'honnête homme peu familiarisé avec la géo diff va s'arrêter dégoûté avec les histoires de naturalité et de modèles locaux : où on va ? pourquoi faire ça ? se demande-t-il. certes le géomètre sait à quoi ça sert, puisqu'il a l'habitude de formuler la problématique en ces termes. Mais il est bien le seul Peps 14 mai 2007 à 21:18 (CEST)

[modifier] Reprise de l'article ?

J'ai créé cet article le 9 mai, après avis et feu vert formulés sur Discuter:Forme différentielle.

La situation sur cette page est bloquée depuis la grosse modification de structure effectuée 5 jours plus tard. J'ai exprimé mon désaccord, tout est dit ci-dessus, mais vu que ma position et celle d'Ekto semblaient inconciliables, contribuer à l'article tel que lui l'envisageait ne m'intéressait plus. Depuis, à part une section complétée par Jaclaf (d · c · b), l'article est en arrêt (il y a eu aussi le rajout d'une "définition" redondante par Cfu (d · c · b), qui semble montrer que le début n'apparaît pas accessible à tous).

Je propose de revenir à mon plan initial (le changement de coordonnées et les variétés après, les ouverts et la physique avant). Qu'en pensez-vous ?

L'absence d'Ekto me gêne un peu ; je ne voudrais pas donner l'impression que je cherche à profiter de son absence pour avoir raison contre lui, donc je voudrais donner un peu de publicité à ce débat pour recueillir d'autres avis. Peps (d) 22 janvier 2008 à 13:27 (CET)

[modifier] Position de jl

Le désaccord est difficile à trancher. Certains estiment que l'exhaustivité est la priorité, pour d'autres la lisibilité par le plus grand nombre est un critère important. Il n'existe pas, à ma connaissance de critère absolu pour trancher. Le charme de WP est qu'il est souvent possible de transiger avec plusieurs articles à points de vue différents (plus didactique, plus encyclopédique, plus exhaustif ...). En conclusion :

  • Dans la mesure où l'information exhaustive pourra un jour être insérée dans WP sous d'autres titres déjà imaginés et
  • si l'article est au point mort faute de contributeur motivé pour développer le point de vue actuel.

Il me semble sage de laisser libre court à la créativité d'un contributeur motivé. S'il s'avère qu'un jour, un autre contributeur ayant à la fois la volonté et le talent de proposer une meilleure mouture, il sera toujours temps d'effectuer des renommages judicieux pour bonifier WP (sans pour autant saccager l'existant). Je n'imagine pas qu'un article accessible au plus grand nombre n'ai pas sa place dans notre bonne encyclopédie. Jean-Luc W (d) 22 janvier 2008 à 16:10 (CET)

Je suis 100% d'accord avec Jean-Luc W. Par ailleurs le chantier des articles autour des formes différentielles est énorme mais important, cela fait longtemps que je me dis qu'il faudrait que je me motive un peu pour y participer (sur forme différentielle a priori). Une fois l'article sur les 1-formes terminées il faudra clarifier Intégrale curviligne mais j'attends que Peps avance. Le plus important sera alors de simplement écrire la formule liant l'intégrale curviligne de l'analyse complexe et celles des physiciens. En bref
\int_C f(z)dz = W(\bar f) + i F(\bar f) où W et F désignent le travail et le flux du champ de vecteurs z\mapsto \bar f(z) le long du chemin C. Pmassot (d) 22 janvier 2008 à 21:29 (CET)
En fait je me suis rendu compte en fouillant mon répertoire wikipédia après mon message que j'avais déjà commencé à écrire un truc. Je l'ai mis sur Utilisateur:Pmassot/Brouillon_formes pour qu'on puisse en discuter s'il y a des gens interessés. C'est vraiment une version très préliminaire, j'avais juste commencé à jeter des idées d'introduction informelle basée sur l'idée d'intégration des formes différentielles. On peut considérer ça comme assez indépendant du projet d'écrire des pages rigoureuses. On verra s'il y a quelque chose à en faire en fonction des réactions. Pmassot (d) 22 janvier 2008 à 23:07 (CET)