Intégrale curviligne

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En mathématiques, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe.

Sommaire

1 Analyse complexe
2 Analyse vectorielle
3 Voir aussi

[modifier] Analyse complexe

L'intégrale curviligne est un des outils de base de l'analyse complexe. Si U est un ouvert du plan complexe, f une fonction continue de U dans C et γ un arc paramétré continûment dérivable tracé de [a,b] dans U on définit l'intégrale de f le long de γ en écrivant une intégrale de variable réelle

$\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t.$

Lorsque γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident) il arrive qu'on utilise la notation suivante

$\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z$

[modifier] Exemple

Soit la fonction f(z)=1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par e^it, avec t parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est

$\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t$

$=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i$

[modifier] Extension aux arcs rectifiables

Plus généralement, si γ est un arc rectifiable, on peut définir l'intégrale curviligne

$\int_\gamma f(z)\,dz$

en introduisant une subdivision de segment [a,b] de la forme a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b et en cherchant la limite des expressions de la forme

$\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).$

lorsque la subdivision a ses longueurs qui tendent vers 0.

[modifier] Propriétés

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

[modifier] Analyse vectorielle

Pour un champ scalaire $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ , l'intégrale curviligne le long de la courbe $Γ$ , paramétrée par $r (t)$ avec $t \in [a,b]$ est définie par :

$\int_\Gamma f\ \mathrm{d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \mathrm{d}t.$

De plus la longueur L de l'arc $Γ$ est donnée par:

$L = \int_\Gamma \ \mathrm{d}s$ .

De même pour un champ vectoriel $\mathbf{F} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ la circulation le long de la courbe $Γ$ , paramétrée par $r (t)$ avec $t \in [a,b]$ est définie par :