Entier quadratique

• Supposons que d ne soit pas congru à 1 modulo 4 :

Soit a et b deux entiers relatifs et v = a + b.√d, alors v est racine du polynôme P[X] suivant et est donc algébrique :

Réciproquement, supposons w algébrique, il existe deux rationnels α et β tel que w = α + β.√d et si le polynôme minimal de w est noté Q[X] alors :

les nombres 2.α et 4(α² - d.β²) sont des entiers relatifs et 4.d.β² l'est aussi. Comme d ne contient aucun facteur carrré, 2.β est un entier relatif.

Si d est congru à 2 modulo 4, alors 2.d.β² est élément de Z et 2.α² aussi, comme 2.α est un entier relatif, α l'est aussi. On en déduit que d.β² est un entier relatif, comme d n'est pas un multiple de 4, et que 2.β est un entier relatif, β l'est aussi.

Si d est congru à 3 modulo 4, (2.α)² - d.(2.β)²) est un multiple de 4, si (2.β) est impair, alors (2.β)² est congru à 1 modulo 4, d.(2.β)² est congru à 3 modulo 4 et (2.α)² - d.(2.β)²) est congru à 2 modulo 4, ce qui est impossible, c'est un multiple de quatre. On en déduit que 2.β est pair et β est entier. Ceci montre que d.(2.β)² est un multiple de 4, et donc (2.α)² aussi, on en déduit que α est entier.

• Supposons que d soit congru à 1 modulo 4 :

Soit a et b deux entiers relatifs et v = a + b(1 + √d)/2, alors v est racine du polynôme P[X] suivant et est donc entier algébrique car d - 1 est un multiple de quatre :

Réciproquement, supposons w algébrique, il existe deux rationnels α et β tel que w = α + β.(1 + √d)/2 et si le polynôme minimal de w est noté Q[X] alors :

On en déduit que (2α + β)² - d.β² est un multiple de 4, comme 2α + β est un entier relatif, d.β² l'est aussi. Comme d ne contient aucun facteur carré, β est un entier relatif. Comme (2α + β)² - d.β² est un multiple de quatre et que β est un entier relatif, 4(α² + α.β) est un multiple de 4 (car d - 1 est un multiple de quatre) et (2α)² + 2.(2.α).β est un multiple de 4. Comme 2α + β et β sont des entiers relatifs, 2α l'est aussi. Si 2α est impair, alors (2α)² + 2.(2.α).β est impair, or cette valeur est un multiple de 4, donc α est un entier relatif, ce qui termine la démonstration.

• La fermeture algébrique d'un corps quadratique est un anneau :

La fermeture algébrique d'un corps est manifestement un groupe abélien, il suffit donc de montrer la stabilité pour la multiplication, les autres propriétés se déduisent du fait que la fermeture algébrique est une partie d'un corps. Soit d un entier relatif sans facteur carré, les deux égalités suivantes montrent que dans tous les cas, la fermeture est stable par multiplication :

• Le quotient de Z[u] par un sous-groupe I contenant deux éléments libres ou par un idéal est un groupe d'ordre fini :

On peut remarquer dans un premier temps que si I est un idéal, il contient deux vecteurs libres. Ici le terme vecteur désigne un élément de Z[u]. En effet, soit a un élément de I, alors la famille (a, a.u) est libre si a n'est pas nul. Si elle ne l'était pas et si α, β désignent deux entiers relatifs tel que a(α + β.u) soit nul, comme a ne l'est pas et Z[u] est intègre, on en déduit que α + β.u est nul et donc que α et β sont nuls.

Le cardinal de l'anneau quotient est celui du groupe quotient, si Z[u] et I sont considérés comme deux groupes munis de l'addition. Soit H le sous groupe engendré par a et a.u, l'ordre du groupe quotient Z[u]/H est supérieur à celui de Z[u]/I car H est inclus dans I. Il suffit donc de montrer que l'ordre de Z[u]/H est fini.

Remarquons dans un premier temps que le sous-groupe de Z[u]/H engendré par la classe de a est fini. S'il ne l'était pas, alors aZ en tant que partie de Z[u] possède une intersection réduite au vecteur nul avec H. Or H contient deux vecteurs libres, il existe toujours une combinaison linéaire non nulle de ces deux vecteurs qui soit un élément de aZ, cette contradiction montre que la classe de a engendre un groupe fini, soit n son ordre et α la classe de a. Un raisonnement analogue montre que la classe de a.u engendre aussi un groupe fini, soit m son ordre et β la classe de b.

Considérons alors l'application φ de Z/nZ x Z/mZ dans Z[u]/H qui à (λ, μ) associe λα + μβ. On remarque que l'application est bien définie, c'est à dire que si l₁ et l₂ sont deux entiers relatifs dans la classe de λ, alors l₁α et l₂α sont bien égaux et qu'il en est de même pour μ et β. L'application φ est un morphisme, il est surjectif car (α, β) est une famille génératrice du groupe Z[u]/H et les ordres de α et β sont respectivement n et m. Il suffit de remarquer que Z/nZ x Z/mZ est d'ordre fini pour conclure que Z[u]/H l'est aussi et donc Z[u]/I.

• Toute suite infinie croissante d'idéaux (M_j) de Z[u] est stationnaire à partir d'un certain rang :

Soit n_j le cardinal de l'anneau quotient Z[u]/M_j. On remarque que Z[u]/M_j+1 est isomorphe à un anneau quotient de Z[u]/M_j car M_j+1 est un idéal contenant M_j. En conséquence, la suite (n_j) est décroissante et constante si et seulement si la suite (M_j) l'est. Comme toute suite infinie d'entiers naturels décroissante est constante à partir d'un certain raing, la suite (M_j) l'est aussi.

• Tout idéal M forme un Z-module munis d'une base à deux éléments :

La démonstration du fait qu'une suite croissante d'idéaux est stationnaire au bout d'un certain rang s'applique aussi aux sous-groupes générés par deux éléments. Soit (u₁, v₁) un couple de vecteurs libres de M il suffit de montrer que si ce couple ne génère pas M alors il existe un autre couple (u₂, v₂) d'éléments de M engendrant u₁ et v₁ tel que u₂ n'est pas engendré par la famille (u₁, v₁). La nouvelle famille contient strictement le module engendré par (u₁, v₁). Si elle n'est pas égale à M alors le processus et réitéré. On obtient une suite strictement croissante de sous-groupes. Au bout d'un nombre d'étapes fini n la suite devient stationnaire, ce qui signifie que le groupe engendré par (u_n, v_n) est égal à M.

Si (u₁, v₁) n'engendre pas M alors il existe un vecteur w₂ de M qui n'est pas engendré par (u₁, v₁). Comme Z[u] contient une base (1, u), w₂ est une combinaison linéaire de cette base. Soit t₂ un vecteur colinéaire à w₂ dont les coefficients dans la base (1, u) sont choisis premiers entre eux, tout élément de Z[u] colinéaire à w₂ s'exprime comme un multiple à coefficients entiers de t₂. Soit λ le plus petit entier relatif strictement positif tel que λ.t₂ soit élément de M. Comme w₂ n'est pas engendré par le couple (u₁, v₁), λ.t₂ n'est pas non plus engendré par le couple.

Notons u₂ le vecteur λ.t₂. Le couple (u₁, v₁) est une base de Q[u] et u₂ s'exprime comme une combinaison linéaire à coefficients rationnels du couple. En multipliant par les dénominateurs, on obtient une combinaison linéaire du couple à coefficients dans les entiers relatifs égal à un multiple de u₂. Si α₂ est le plus grand commun diviseur des coefficients, alors il existe trois entiers relatifs a₂, b₂ et f₂ tel que :

Quitte à diviser α₂ et f₂ par leur plus grand diviseur commun, il est possible de les choisir premiers entre eux. Le terme de droite est colinéaire à t₂, il est donc multiple de ce vecteur, le multiple contient α₂ comme diviseur. Par ailleurs, ce multiple est égal à f₂.λ. Comme α₂ et f₂ sont premiers entre eux, α₂ divise λ et il existe un entier μ₂ tel que λ est égal à α₂.μ₂. En divisant par α₂ l'égalité précédente, on obtient :

Le vecteur f₂.μ₂.t₂ est une combinaison linéaire à coefficients entiers du couple (u₁, v₁), c'est donc un élément de M. Soit r le reste de la division euclidienne de f₂.μ₂ par λ, r.t₂ est un élément de M car différence de deux éléments de M. Comme r est strictement plus petit en valeur absolue que λ, la définition de λ montre que r est nul. On en déduit que f₂.μ₂ est un multiple de λ. Ainsi il existe un entier k₂ tel que :

Par construction a₂ et b₂ sont premiers entre eux, l'identité de Bézout montre l'existence de deux entiers relatifs c₂ et d₂ tel que a₂d₂ - b₂c₂ = 1. Soit v₂ défini par v₂ = c₂.u₁ + d₂.v₁, v₂ est généré par le couple (u₁, v₁), il est donc élément de M. La matrice suivante est inversible dans l'anneau des entiers relatifs car elle est de déterminant égal à 1 :

On en déduit que u₂ et v₂ engendrent le couple de vecteurs précédent, ce qui termine la démonstration.

• Tout idéal premier M de Z[u] est maximal :

Si M est premier, l'idéal Z[u] / M est intègre (cf l'article Idéal premier). Une proposition précédente montre que Z[u] / M est de cardinal fini. Or tout anneau intègre fini est un corps, en effet, si a est un élément de l'anneau différent de 0, l'application de l'anneau dans lui même qui à x associe a.x est injective car l'anneau est intègre. Toute application d'un ensemble dans lui-même injective est bijective si cet ensemble est fini. Il existe donc un antécédent à 1 et une valeur b tel que a.b = 1. L'anneau Z[u] / M est un corps, ce qui montre que l'idéal est maximal (cf l'article Idéal maximal).

• Le discriminant de Z[u] est égal à d si d est congru à 1 modulo 4 :

Soit x et y deux éléments de Z[u] et α, β, γ, δ quatre entiers relatifs tel que : x = α + β.u et y = γ + δ.u. Si Μ_x, Μ_y, Μ_xy et T désignent les matrices de φ_x, φ_y, φ_xy et de la forme trace dans la base (1, u) on obtient :

On en déduit la forme trace notée ici Tr <.,.> :

Ce qui offre une expression matricielle T de la forme trace :

• Le discriminant de Z[u] est égal à 4d si d n'est pas congru à 1 modulo 4 :

Avec les notations de la démonstration précédente, on obtient :

On en déduit la forme trace notée ici Tr <.,.> :

Ce qui offre une expression matricielle T de la forme trace :

• Le discriminant d'un idéal M est égal à N(M)².disc(Z[u]).

Une démonstration générale est proposée dans l'article détaillé.

• Si d est strictement négatif, le groupe des unités est cyclique et inclus dans celui des racines de l'unité :

Si d est égal à -1, le groupe est cyclique d'ordre 4 (cf Entier de Gauss), si d est égal à -3, le groupe est cyclique d'ordre 6 (cf Entier d'Eisenstein).

Sinon, on remarque que la norme relative d'une unité est nécessairement égal à +/-1 car elle est un entier relatif et si a est une unité :

On remarque de la norme de u est strictement supérieur à un, comme la norme d'un élément inversible α + β.u est supérieure à à β².N(u), β est égal à 0 et α à +/- 1. En conséquence, le groupe est cyclique d'ordre 2.

• Si d est strictement positif, le groupe des unités est isomorphe au produit direct d'un groupe cyclique d'ordre deux et d'un groupe monogène d'ordre infini :

Le groupe des unités de Z[u] est noté Z[u]^*. Soit σ l'automorphisme de corps de Q[u], qui à un élément du corps quadratique α + β.√d associe son conjugué α - β.√d et soit ψ l'application de Q[u]^* dans R² (ici, R désigne l'ensemble des nombres réels) qui à k associe (ln(|k|), ln(|σ(k)|)), ici ln désigne la fonction logarithme. L'application ψ est un morphisme du groupe multiplicatif (Q[u]^*, .) dans le groupe additif (R², + ). La restriction de ψ à Z[u]^* est aussi un morphisme de groupe.

Soit H le sous-espace vectoriel de R² (ici, R désigne l'ensemble des nombres réels) des couples (x, y) tel que x + y soit égal à zéro.

• Le noyau de la restriction de ψ à Z[u]^* est le groupe cyclique d'ordre deux {-1, 1} :

Le noyau de la restriction est composé des éléments k de Z[u]^* tel que le logarithme de la valeur absolue de k et de σ(k) soit égal à zéro. En conséquence k est égal à +/- 1.

• L'image de Z[u]^* par ψ est un sous-groupe discret de H :

Il suffit pour cela de montrer qu'il n'existe un ensemble fini de points de norme (au sens euclidien) bornée, c'est à dire inférieure à un réel strictement positif b. Soit a un élément de Z[u]^* dont l'image par ψ est de norme inférieure à b et α, β les deux entiers relatifs tel que a = α + β.u. On remarque que 2α est égal à a + σ(a) et est inférieur à 2b, de même 2β est égal à a - σ(a) est aussi inférieur à 2b. Il n'existe qu'un nombre fini d'éléments de Z[u] satisfaisant ces deux propriétés, il n'en existe à fortiori qu'un nombre fini dans Z[u]^*. L'image de Z[u]^* par ψ est donc un sous-groupe discret de H.

• L'image de Z[u]^* par ψ est isomorphe à Z :

Le groupe H est isomorphe à R, les seuls sous-groupes discrets de R sont le groupe trivial {0} et les sous-groupes isomorphes à Z. Montrer cette proposition revient à montrer qu'il existe un autre membre du groupe des unités que 1 et -1.

Pour cela considérons l'application φ de Q[u] dans R² qui à un élément a associe (a, σ(a)). L'image de Z[u] par φ est un Z module, appelé réseau. Une base de ce Z module est constituée des deux vecteurs φ(1) = (1, 1) et φ(u) = (u, -u). Le volume fondamental d'un réseau est le volume du parallélépipède défini par les vecteurs dont les coordonnées dans la base (φ(1), φ(u)) sont chacune dans l'intervalle [0,1[. Un calcul montre que le volume fondamental V du réseau φ(Z[u]) est égal à la racine carrée du discriminant. Considérons dans R², le rectangle R_λ centré sur l'origine, de longueur 2λ (coordonnées de φ(1)) et de hauteur 2(V + 1)/λ. Sa surface est égale à 4(V + 1), le théorème de Minkowski montre que R_λ contient au moins un point de φ(Z[u]) non nul. On construit alors une suite (λ_n, a_n) à valeurs dans R x Z[u], définie par récurrence :

Par construction, pour tout i différent de j, a_i est différent de a_j et la norme relative de a_i égal à a_i.σ(a_i) est inférieure à V + 1. La norme de l'idéal a_iZ[u] est en conséquence inférieure à V + 1. Comme il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux ayant une norme inférieure à une constante donnée (cette proposition est démontrée dans le paragraphe Théorèmes de l'article Groupe des classes d'idéaux), il existe deux entiers a_i et a_j distincts engendrant le même idéal. Le ratio a_i/a_j est une unité, par construction différente de 1 et -1.

• Le groupe des unités est isomorphe à Z/2Z x Z :

L'image de Z[u]^* par ψ est isomorphe à Z, son noyau est isomorphe à Z/2Z. Soit v un élément tel que ψ(v) soit générateur de l'image. L'application de Z/2Z x Z dans Z[u]^*, qui à (p, n) associe (-1)^p.uⁿ est un isomorphisme, ce qui démontre le théorème.

La difficulté consiste à trouver un élément m d'un idéal M de norme relative la plus petite possible. Il existe en fait une valeur b tel que le disque de rayon bN_Q[u]/Q(M) contienne toujours un élément de M. Une fois cette existence établie, on montre que tout élément du groupe des classes d'idéaux contient un représentant de norme majorée par b. Le théorème se démontre alors simplement. Les détails sont données dans l'article détaillé.

Si d est négatif, il existe une preuve plus simple pour montrer l'existence de b. Elle est donnée ici :

L'anneau Z[u] est muni de la norme euclidienne ||.|| qui associe la valeur 1 au point 1 et √|d| à √d.

• Le disque D de Z[u], de centre l'origine et de rayon 2.δ, où δ est égal à (√|d|.M( N ) / π)^½, contient au moins un point a de M non nul :

Le disque de rayon δ contient strictement plus que M( N ) points de Z[u]. Or Z[u] / M contient N ( M ) classes distinctes. Il existe donc deux points b et c distincts et éléments de la même classe. Le point a égal à b - c est un point de M distinct de l'élément nul et à une distance inférieure à 2.δ de l'origine, ce qui permet de conclure.

• Si d est strictement négatif, la classe de M dans le groupe des classes contient un représentant de norme inférieure ou égal à 4.√-d / π :

Considérons l'idéal Q égal à a.M ^-1. Si α est élément de M ^-1, le produit de α et d'un élément de M est entier, donc le produit a.α est aussi entier et Q est un idéal non fractionnaire de Z[u]. L'égalité suivante montre que Q est dans la classe étudiée :

On remarque que, si a₁ et a₂ sont les deux coordonnées de a, considéré comme un point de Q[u] (les coordonnées a₁ et a₂ ne sont alors pas nécessairement entières si d est congru à 1 modulo 4), dans la base (1, √-d), alors :

On en déduit :

Remarque : L'article détaillé montre qu'il est possible d'obtenir une meilleur majoration de la norme d'un représentant de la classe de M. Il existe un idéal Q dans la classe de M de norme inférieure ou égale à 2.√-d / π.

• Le nombre premier p est inerte si et seulement si -d n'est pas un résidu quadratique modulo p :

Le nombre premier p est inerte, si et seulement s'il n'existe pas de morphisme de Z[u] dans un le corps fini F_p à p élément. En effet, si un tel morphisme existe, son noyau est un idéal premier de norme p et si un idéal premier de norme p existe alors le morphisme de Z[u] dans le quotient remplit la condition.

Un tel morphisme existe si et seulement s'il est possible d'associer à √d une valeur dans F_p, la seule valeur possible est une racine de l'équation X² = d, c'est à dire que d est résidu quadratique modulo p. Si tel est le cas, il existe une unique manière de prolonger l'application m qui à 1 associe 1 et à √d une de ces deux racines quadratiques dans F_p. Comme l'idéal pZ[u] est premier un tel morphisme n'existe pas un tel morphisme n'existe pas et -d n'est pas un résidu quadratique modulo p.

• Le corps premier Z[u]/pZ[u] est isomorphe à F_p² :

La norme de pZ[u] est égal à p². Si p est inerte, Z[u]/pZ[u] est un corps de cardinal la valeur absolue de norme de p, c'est à dire p². Il n'existe qu'un unique corps contenant p² éléments : F_p², ce qui permet de conclure.

• Les deux idéaux sont conjugués l'un de l'autre et ce sont les seuls idéaux de norme p.

Remarquons tout d'abord que la norme de p est égal à p². Comme le produit des normes d'idéaux est égal à la norme du produit des idéaux et que le seul idéal de norme 1 est Z[u], la décomposition en idéal premier de pZ[u] ne peut contenir plus de 2 idéaux distincts. Supposons qu'elle contienne exactement deux idéaux distincts M₁ et M₂.

Alors les normes de M₁ et M₂ sont égales à p et Z[u]/M_i, si i est égal à 1 ou à 2, est isomorphe au corps premier de cardinal p. Le paragraphe précédent montre qu'il existe un élément r du corps premier F^p tel que r² est égal à -d. Il existe exactement deux morphismes de corps de Z[u] dans F_p, ils associent à 1 la valeur 1 dans F_p et à √d respectivement les valeurs r et -r. Les idéaux M₁ et M₂ sont les deux noyaux respectifs de ces deux morphismes. Ces deux morphismes sont conjugués, leurs noyaux le sont donc aussi.

• L'anneau quotient Z[u] / pZ[u] est isomorphe au produit F_pxF_p :

Montrons que l'intersection de M₁ et M₂ est égal au produit M₁.M₂. Remarquons que le produit est nécessairement inclus dans l'intersection. Réciproquement soit m un élément de l'intersection. Comme ces deux idéaux sont maximaux et distincts, M₁ + M₂ est égal à Z[u], et 1 est la somme d'un élément de M₁ et d'un élément de M₂ : m₁ + m₂ = 1 et donc m.m₁ + m.m₂ = m, ce qui démontre l'égalité.

Le théorème chinois généralisé et le fait que Z[u] / M_i soit le corps à p éléments montrent que :

• Si le nombre premier p est ramifié, l'idéal pZ[u] est égal au carré de l'unique idéal M premier contenant p :

Il a déjà été démontré que la décomposition de pZ[u] est le produit d'un ou deux idéaux premiers. Si p n'est pas premier, alors pZ[u] est un produit de deux idéaux premiers. Comme il n'en existe qu'un, noté M, contenant l'idéal pZ[u], il est nécessairement égal à M².

• L'anneau quotient Z[u] / pZ[u] contient au moins un élément nilpotent :

M contient un élément qui n'est pas multiple de p car, par hypothèse M n'est pas égal à l'idéal engendré par p. Soit α la classe de cet élément dans Z[u] / pZ[u]. Comme le carré de M est égal à pZ[u], α² est nul. L'élément α n'est pas nul dans Z[u] / pZ[u] car il contient un représentant qui n'est pas dans M, en revanche son carré l'est. Ce qui montre que l'anneau quotient contient au moins un élément nilpotent.

• Le nombre premier p est ramifié, si et seulement s'il divise le discriminant de l'anneau Z[u].

Supposons que p soit ramifié, le quotient de Z[u] par pZ[u] est un F_p espace vectoriel. Il contient un élément non nul α nilpotent d'ordre deux. L'élément α n'est pas colinéaire à la classe de 1 car aucun multiple de 1 n'est nilpotent, (1, α) forme donc une base de l'espace vectoriel quotient. Soit x et y deux vecteurs de coordonnées (x₁, x₂) et (y₁, y₂) dans la base (1, α). La matrice Μ_xy de l'homothétie de rapport xy est la suivante :

On en déduit la forme trace et la matrice T associée :

Le déterminant de T est ainsi nul. Ce déterminant est le quotient dans Z/pZ du discriminant de l'anneau Z[u]. On en déduit que le discriminant est un multiple de p, ce qu'il fallait démontrer.

Réciproquement, si p n'est pas un diviseur du discriminant, le déterminant de T dans le quotient Z[u] / pZ[u] est, à un facteur multiplicatif près, la classe du discriminant de Z[u] dans Z/pZ qui n'est pas nul. En conséquence, il n'existe pas d'élément nilpotent, ce qui montre que p ne peut être ramifié.

Dans un premier temps déterminons les valeurs de p tel que -2 est un résidu quadratique. L'article Loi de réciprocité quadratique montre que -1 est un carré si et seulement si p est congru à 1 modulo 4. La valeur 2 est un carré si et seulement si p est congru à 1 ou à 7 modulo 8. On obtient le tableau suivant :

Le signe + signifie que la valeur est un carré pour un nombre premier congru à la valeur de la première ligne modulo 8. On en conclut que -2 est un carré modulo p si et seulement si p est congru à 1 ou à 3.

Si cette condition n'est pas remplie, il est impossible de construire un morphisme de Z[i√2] dans Z/pZ, ce qui montre que p est inerte et qu'il n'y a pas de solution.

Si p est congru à 1 ou à 3 modulo 8, il existe dans Z/pZ une valeur r de carré égal à -2. L'application qui à l'entier algébrique a + b.i√2 associe a + b.r dans Z/pZ est un morphisme d'anneau. Son noyau est un idéal de Z[i√2]. Comme l'anneau est euclidien, l'idéal est principal, soit α + β.i√2 un générateur. La norme de ce générateur est égal au cardinal de l'anneau quotient, en l'occurrence p. La norme de l'idéal est aussi la valeur absolue de la norme d'un générateur. Elle est égale à α² + 2.β² et à p. Ce qui résout l'équation.

Dans un premier temps recherchons les nombres premiers inertes. L'application de la loi de réciprocité quadratique montre que 5 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est un résidu quadratique modulo 5. Or Z/5Z contient deux classes de résidus, celle de 1 et celle de 4. On en déduit le tableau suivant, construit comme précédemment :

Un raisonnement analogue au précédent montre que les classes de 11, 13, 17 et 19 sont inertes.

Il reste quatre classes ramifiées ou décomposées. Il s'agit de déterminer si les idéaux associés sont principaux ou non. Pour cela examinons le groupe des classes de l'anneau. Un résultat établi précédemment montre que toute classe contient un idéal de norme inférieure à 4.√5 / π. Comme la norme est un entier relatif, la seule valeur possible pour un représentant d'une classe différente de celle des idéaux principaux est 2. On vérifie qu'un unique idéal : M₂ contenant 2 et 1 + i.√5 est de norme 2. Il n'est pas principal car aucun élément de l'anneau n'a pour norme en valeur absolue 2.

• Le groupe des classes de l'anneau d'entiers algébriques Z[i√5] est d'ordre 2.

Le discriminant de Z[i√5] est égal à -20, l'idéal M₂ est ramifié et l'anneau quotient Z[i√5] / M₂ contient des éléments nilpotents comme 1 + i.√5, dont le carré est multiple de 2.

L'existence d'un idéal premier non principal de norme 2 amène à étudier la parité des solutions de l'équation. Soit a et b deux entiers relatifs premiers entre eux tel que a² + 5.b² soit un multiple de p. Si la somme est paire, les entiers a et b sont impairs et donc congru à 1 ou à 3 modulo 4. Leur carré est congru à 1 modulo 8, en conséquence a² + 5.b² est congru à 6 modulo 8 et p est congru à 3 modulo 4. Dans ce cas là, p est congru à 3 ou 7 modulo 20. Si la somme est impaire, l'un des deux nombres est pair et l'autre impair, le carré de celui impair est congru à 1 modulo 4 et l'autre est un multiple de quatre. La somme est donc congru à 1 modulo 4 et p est congru à 1 ou 9 modulo 20.

Si p est congru à 3 ou à 7 modulo 20, l'équation ne peut admettre de solution égale à p car toute solution est paire. En conséquence, aucun idéal M_p de norme p ne peut être principal, il serait en effet généré par une solution de l'équation. En revanche, l'idéal M₂.M_p l'est car le groupe des classes est d'ordre deux et M₂ n'est pas principal. L'idéal M₂.M_p est de norme 2.p, il contient un générateur et sa norme est égal à 2.p, ce qui revient à dire que si p est congru à 3 ou 7 modulo 20, l'équation x² + 5.y² = 2.p admet une solution.

Si p est congru à 1 ou à 9 modulo 20, l'équation x² + 5.y² = 2p ne peut admettre de solution. Le raisonnement précédent montre que M₂.M_p ne peut être principal et donc M_p l'est, ce qui permet de conclure.

Si d n'est pas congru à 1 modulo 4, alors √d et u sont égaux, la proposition est évidente.

Si d est congru à 1 modulo 4, le polynôme minimal P[X] de u est le suivant :

L'anneau Z[u] est isomorphe au quotient Z[X] / P[X]. L'isomorphisme est l'application linéaire qui aux classes de 1 et de X dans Z[X] associent 1 et u. Cet isomorphisme en induit un autre entre les anneaux quotients F₂[X] / P₂ [X] et Z[u] / 2Z[u]. Ici F₂ désigne le corps fini à deux éléments, F₂[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans F₂ ou encore le quotient de Z[X] par 2Z[X] et P₂ [X] le polynôme image de P[X] par le morphisme surjectif canonique de Z[X] dans Z[X] / 2Z[X]. Soit φ la surjection canonique de Z[u] dans Z[u] / 2Z[u]. Comme Z[√d] contient 2Z[u] et que √d = 2u - 2, les égalités suivantes sont vérifiées :

Comme d est congru à 1 modulo 4, il est congru à 1 ou 5 modulo 8.

Si d est congru à 5 modulo 8 :

L'anneau à quatre éléments F₂[X] / P₂ [X] possède un groupe des unités cyclique à trois éléments engendré par ω la classe de X. En effet, ω² = ω + 1 et ω³ = ω² + ω = 1 et l'anneau quotient est un corps isomorphe à F₄. L'image du groupe Z[√d] ^* est un sous groupe de (Z[u] / 2Z[u])^* isomorphe au groupe cyclique à trois éléments. Les sous-groupes de (Z[u] / 2Z[u])^* sont tous triviaux, si φ(Z[u]^*) est égal à (Z[u] / 2Z[u])^*, alors toutes les unités sont incluses dans Z[√d], sinon, Z[u] ^*/ Z[√d] ^* est un sous-groupe à trois éléments. Dans les deux cas, Z[√d] ^* est nécessairement isomorphe à un sous groupe de la forme (Z/2Z x nZ, +) où n est égal à 1 ou 3 et donc est isomorphe à (Z/2Z x Z, +).

Si d est congru à 1 modulo 8 :

L'anneau quotient est isomorphe à F₂ x F₂ car les trois éléments non nuls sont Idempotents, en effet 1² = 1, ω² = ω et (ω + 1)² = ω² + 1 = ω + 1. Tout élément de Z[u] ^* a pour image par φ un élément de (Z[u] / Z[√d])^*. On remarque que (F₂ x F₂)^* est réduit à un élément : la classe de 1. Son image réciproque est incluse dans Z[√d], ce qui termine la démonstration.