Norme (arithmétique)

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En mathématiques la norme est une notion utilisée en théorie de Galois ou en théorie algébrique des nombres.

La théorie classique de Galois étudie des extensions finies L d'un corps K un autre corps commutatif. L'ensemble L contient K (ou, ce qui revient au même il existe un morphisme de corps injectif de K dans L), L est commutatif et L, considéré comme un espace vectoriel sur le corps K est de dimension finie. Une première définition de la norme est l'application qui à un élément l de L associe le déterminant de la fonction multiplication par l.

En arithmétique, la norme relative est une application d'un sur-corps L vers un sous-corps K d'une extension. Cette application intervient de façon cruciale dans la théorie des corps de classes : les sous-extensions abéliennes d'une extension donnée sont essentiellement en correspondance avec des groupes de normes, c'est-à-dire l'image dans le sous-corps par la norme de certains groupes du sur-corps.

Cette notion s'étend en une notion de norme d'un idéal, définie pour les idéaux premiers comme le cardinal du corps résiduel, puis par multiplicativité, pour les idéaux composés. La norme d'un idéal principal est alors égale à la norme relative sur Q, l'ensemble des nombres rationnels, d'un générateur de cet idéal. La démonstration de la finitude du groupe des classes utilise des propriétés de majoration de la norme des idéaux dans une classe donnée.

Sommaire

1 Définitions
2 Propriétés
- 2.1 Théorie de Galois
- 2.2 Théorie algébrique des nombres
3 Applications
4 Voir aussi
- 4.1 Liens externes
- 4.2 Références

[modifier] Définitions

Soit K un corps commutatif, L une extension finie et l un élément de L. Une première définition est la suivante :

La norme relative de l'élément l dans K est le déterminant de l'endomorphisme du K espace vectoriel L qui à x associe l.x. Cette norme est généralement notée N_L/K(l).

Il existe une définition plus restrictive et équivalente si les conditions d'existence sont remplies :

Si l'extension L est galoisienne, la norme relative d'un élément l de L est le produit des images d'une racine du polynôme minimal par les différents automorphismes du groupe de Galois.

La norme d'un nombre algébrique peut être définie sans référence à la donnée d'une extension L, on parle alors de norme et non plus de norme relative.

La norme d'un nombre α algébrique dans K est égale au coefficient constant de son polynôme minimal si le polynôme est séparable. Une telle norme est parfois notée N(α).

Cette définition s'applique encore si le nombre est un entier algébrique, la norme est alors entière. Elle se généralise aux idéaux d'un anneau d'entiers algébriques :

La norme d'un idéal M de la fermeture algébrique O_L de L est l'ordre de l'anneau quotient M/O_L si le corps K est celui des nombres rationnels.

[modifier] Propriétés

[modifier] Théorie de Galois

Article détaillé : théorie de Galois.

Si les trois définitions semblent à priori éloignées les unes des autres, la réalité est différente :

Si une extension finie L est galoisienne, le déterminant de l'application multiplication par l, où l est un élément de L est égal au produit des images d'une racine du polynôme minimal par les différents automorphismes du groupe de Galois.

L'article polynôme minimal d'un nombre algébrique montre que si σ₁, σ₂, ..., σ_d désigne les différents éléments du groupe de Galois, d étant la dimension de L en tant que K espace vectoriel et χ[X] le polynôme caractéristique, l'égalité suivante est vérifiée :

$\chi[X] =\prod_{i=1}^d \Big(\sigma_i(m) - X\Big)\quad \text{et}\quad \mathcal N_{\mathbb L/\mathbb K} (l) = \prod_{i=1}^d \sigma_i(m)$

Le déterminant est égal au monôme constant du polynôme caractéristique, correspondant bien au produit des σ_i(m) pour i décrivant l'intervalle de borne 1 et d.

La définition d'une norme relative à une extension et d'une norme est un peu différente. Il suffit de considérer un élément k de K pour s'en rendre compte, sa norme relative est égal à k^d et sa norme à k.

Soit l un élément de L et n la dimension de l'espace vectoriel L sur le corps de rupture K[l]. Si N(l) désigne la norme de l et N_L/K(l) sa norme relative, alors :

$\mathcal N(l)^n = \mathcal N_{\mathbb L / \mathbb K}(l)$

Ce résultat provient de l'égalité suivante, démontrée dans l'article polynôme minimal d'un nombre algébrique :

$\chi[X] = (-1)^n P^n[X]\;$

Une propriété est vérifiée pour la norme relative :

Soit l₁ et l₂ deux éléments de L, le produit des normes relatives de l₁ et l₂ est égal à la norme relative du produit l₁.l₂.

$\mathcal N_{\mathbb L / \mathbb K}(l_1)\cdot \mathcal N_{\mathbb L / \mathbb K}(l_2) = \mathcal N_{\mathbb L / \mathbb K}(l_1\cdot l_2)$

Cette propriété est la conséquence directe du fait que le produit de deux déterminants est égal au déterminant des produits. L'égalité n'est en général pas vraie pour les normes. Il n'existe en effet aucune raison pour que les corps de ruptures aient même dimension.

[modifier] Théorie algébrique des nombres

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

Ici, K est une extension finie des nombres rationnels et L une extension finie de K. On considère deux anneaux O_K et O_L fermeture intégrale des corps K et L. Ce sont des anneaux de Dedekind. La norme considérée est la norme relative.

La norme relative de L sur K d'un entier l de O_L est un entier de O_K.

Dire que l est entier revient à dire que son polynôme minimal est à coefficients entiers. Son polynôme caractéristique, multiple du polynôme minimal est aussi à coefficients entiers, ce qui montre le caractère intégrale de la norme.

La norme relative dispose d'une propriété remarquable si K est égal à Q le corps des rationnels :

La valeur absolue de la norme relative d'un entier algébrique l de L sur Q est égal à l'ordre de l'anneau quotient O_L/ lO_L.

Cette propriété se démontre à l'aide de considérations géométriques. L'anneau O_L est noethérien, il admet une base B comme Z module. On considère le volume fondamental F de lO_L égal à l'ensemble des points de K ayant des coordonnées dans [0, 1[ dans la base l.B de l'idéal. On remarque que chaque élément du quotient O_L/lO_L contient un unique représentant dans F. Une considération géométrique permet de montrer que le nombre d'éléments de O_L dans F est égal à la valeur absolue de la norme d'un générateur de I.

Toujours si K est égal à Q la propriété de multiplicativité est conservé :

Soit J₁ et J₂ deux idéaux de O_L, l'égalité suivante est vérifiée :'

$\mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q} (J_1\cdot J_2) = \mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q} (J_1) \cdot \mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q} (J_2)$

La démonstration se fonde sur le fait que l'anneau O_L est de Dedekind. Tout idéal est produit d'idéaux premiers et tout idéal premier est maximal. Il suffit de démontrer que la propriété est vraie pour les idéaux maximaux et multiplier par les facteurs premiers de J₂.

Enfin :

Soit f un morphisme de Z module injectif de O_L vers un idéal J, la norme relative de J est égal à la valeur absolue du déterminant de f.

Détails des démonstrations

La valeur absolue de la norme relative d'un entier algébrique l de L sur Q est égal à l'ordre de l'anneau quotient O_L/ lO_L :

Soit B = (b₁, ..., b_d) une base de O_L et donc de L. La famille l.B égale à (l.b₁, ..., l.b_d) est aussi une base de L en tant que Q espace vectoriel et une base de lO_L comme Z module. Tout élément a de O_L s'exprime comme combinaison linéaire de la famille m.B à coefficients dans Q, a est élément de lO_L si et seulement si les coefficients sont des entiers relatifs.

Soit F l'ensemble des points de L dont les coordonnées dans la base m.B sont éléments de l'intervalle [0,1[.

Montrons que chaque classe de O_L/ lO_L contient un unique représentant dans F :

Soit a un représentant d'une classe de O_L/ lO_L. Soit (a_i) ses coordonnées dans la base de L m.B. Décomposons a_i en la somme de sa partie entière p_i et d'un reste r_i éléments de [0, 1[. Les éléments de O_L α et f sont définis par :

$a = \sum_{i=1}^d a_ilb_i = \alpha + f \quad \text{avec}\quad \alpha = \sum_{i=1}^d p_ilb_i,\; f = \sum_{i=1}^d r_ilb_i\quad \text{car}\quad \forall i \in [1,d]\quad a_i = p_i + r_i$

La famille (p_i) est composée d'entiers relatifs et α est élément de lO_L, la famille (r_i) est composée d'éléments de l'intervalle [0,1[ et f est élément de F et de O_L car f = a - α. La classe de a possède un représentant f dans F. L'unicité résulte du fait que la différence des coordonnées de deux éléments de F ne peut être entière.

Montrons que F contient exactement N_K/Q(l) éléments dans O_L :

Le raisonnement utilisé est géométrique, il est de même nature que celui du théorème de Minkowski sur le nombre de points entiers dans un convexe symétrique par rapport à l'origine.

Soit μ un entier naturel strictement positif et V le volume de K constitué par les vecteurs de coordonnées en valeur absolue inférieures à μ dans la base m.B. On remarque de les translations de F par des vecteurs de coordonnées entières strictement inférieurs à μ - 1 en valeur absolue dans la base m.B forment une partition de V. La démonstration précédente montre de plus que chaque translaté contient exactement autant de points de O_L que F. Si V_p et F_p désignent le nombre de points de O_L dans V et F, l'égalité suivante est vérifiée :

$(2\mu + 1)^d F_p = V_p\quad\text{ou}\quad (2\mu + 1)^d \left|\frac {\mathcal O_{\mathbb K}}{l\mathcal O_{\mathbb K}}\right|=V_p$

La deuxième forme est la conséquence du résultat démontrée précédemment, le signe de la valeur absolue est utilisé ici pour désigner le cardinal de l'ensemble.

Il existe une autre manière d'évaluer V_p, il consiste à établir le volume V_v de V. Considérons un pavage de l'espace par des cubes de cotés de longueur 1, dont les arêtes sont parallèles à un vecteur de la base B et dont le centre est un point de O_L. Soit V_v-1 le volume constitué par l'ensemble des cubes strictement inclus dans V et V_v+1 celui constitué par l'ensemble des cubes ayant une intersection non vide avec V. On obtient les majorations suivante :

$V_{v-1}\le V_{p}\le V_{v+1}$

Si S est la surface frontière du volume V et S_v sa mesure, on obtient :

$V_v - S_v \le V_{v-1}\le V_{p}\le V_{v+1} \le V_v + S_v$

Soit M un majorant de la mesure de la plus grande face du volume fondamental F, comme il existe 2.d faces et que chaque face du volume V est composée de (2μ + 1)^d-1 faces de F, on obtient les majorations suivantes :

$V_v - 2dM(2\mu + 1)^{d-1} \le V_{p}\le V_v + 2dM(2\mu + 1)^{d-1}$

Enfin V_v est l'image d'un volume de mesure égale à (2μ + 1)^d par une application linéaire de déterminant N_L/Q(m). En utilisant la valeur de V_p calculé précédemment, on obtient :

$(2\mu + 1)^d\mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q}(m) - 2dM(2\mu + 1)^{d-1} \le (2\mu + 1)^d \left|\frac {\mathcal O_{\mathbb K}}{l\mathcal O_{\mathbb K}}\right| \le (2\mu + 1)^d\mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q}(m) + 2dM(2\mu + 1)^{d-1}$

En simplifiant par (2μ + 1)^d les majorations :

$\mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q}(m) - \frac {2dM}{2\mu + 1} \le \left|\frac {\mathcal O_{\mathbb K}}{l\mathcal O_{\mathbb K}}\right| \le \mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q}(m) + \frac {2dM}{2\mu + 1}$

Si μ est choisi plus grand que d.M, le fait que la norme relative de m et le cardinal du quotient soit des entiers naturels permet de conclure.

Soit f un morphisme de Z module injectif de O_L vers un idéal J, la norme relative de J est égal à la valeur absolue du déterminant de f.

Remarquons tout d'abord qu'un tel morphisme existe toujours. Le module O_L est noethérien car l'anneau associé est de Dedekind. Un idéal est un sous-module, il admet donc une base. Toute application ayant pour image de B une base de J se prolonge en un morphisme de Z module injectif.

Le raisonnement précédent s'applique encore. Il suffit de considérer comme volume fondamental l'ensemble des vecteurs de coordonnées élément de [0, 1[ dans la base image de B par f.

Soit J₁ et J₂ deux idéaux de O_L, l'égalité suivante est vérifiée :

$\mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q} (J_1\cdot J_2) = \mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q} (J_1) \cdot \mathcal N_{\mathbb L/\mathbb Q} (J_2)$

L'idéal J₂ est un produit d'idéaux premiers (cf idéal fractionnaire). Il suffit donc de démontrer la proposition si J₂ est premier, le cas général se traitant alors par multiplication successives d'idéaux premiers.

Considérons le morphisme surjectif de groupe canonique de O_L / J₁.J₂ dans O_L / J₁. L'objectif est de montrer que son noyau est d'ordre la norme de J₂. Ce noyau est le groupe J₁ / J₁.J₂, ce groupe est aussi un espace vectoriel sur le corps O_L / J₂. Cet ensemble est un corps car J₂ est premier, donc maximal. Un sous espace vectoriel de J₁ / J₁.J₂ est le quotient d'un idéal contenant J₁.J₂ et contenu dans J₁. L'unicité de la décomposition en idéaux premier montre que les seuls idéaux satisfaisant cette propriété sont J₁ et J₁.J₂. En conséquence, J₁ / J₁.J₂ est un espace vectoriel de dimension 1 sur O_L / J₂ et est donc de cardinal celui de O_L / J₂, égal à la norme de J₂.

Il existe un morphisme surjectif de O_L / J₁.J₂ dans O_L / J₁ de noyau un sous-groupe d'ordre égal à celui de J₂, ce qui démontre la proposition.

[modifier] Applications

Les normes permettent parfois d'établir le caractère euclidien de certains anneaux d'entiers. Tel est le cas pour les entiers de Gauss, d'Eisenstein et de Dirichlet.

Dans le cas plus général des corps quadratiques la norme aide à élucider la structure de l'anneau pour permettre par exemple de résoudre l'équation x² + 5.y² = n où n est un entier.

D'une manière encore plus générale, la norme est utilisée pour établir les résultats clé de la théorie algébrique des nombres, comme la structure des idéaux fractionnaires ou celle du groupe des classes d'idéaux.