Théorème de Kronecker-Weber

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Le théorème de Kronecker-Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : chaque extension abélienne finie du corps des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ , ou en d'autres mots chaque corps de nombres algébriques avec un groupe de Galois abélien absolu, est un sous-corps d'une extension cyclotomique, i.e. un corps obtenu en adjoignant une racine de l'unité aux nombres rationnels.

Ce théorème a été énoncé par Kronecker en 1853. Sa proposition de preuve était incomplète. Weber en 1886 proposa une nouvelle preuve, qui présentait encore une lacune. Hilbert le montra en 1896 en utilisant des méthodes différentes de celles de ses prédécesseurs. Le théorème est aujourd'hui habituellement démontré comme une conséquence de la théorie des corps de classes. Cependant, il peut aussi être déduit de l'assertion analogue sur les corps de nombres p-adiques : si p est un nombre premier, et K/Q_p est une extension abélienne finie, alors K est inclus dans une extension cyclotomique de Q_p.

Déduction du théorème global depuis le théorème local

Pour déduire le théorème global du théorème local, on considère pour chaque nombre premier p ramifié dans l'extension $K/\mathbb{Q}$ , un entier n_p tel que K soit inclus dans $\mathbb{Q}_p(\zeta_{n_p})$ , où $\zeta_{n_p}$ est une racine primitive n_pème de l'unité. Considérant alors, p^e_p la plus grande puissance de p divisant n_p, on montre alors que K est inclus dans $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ , pour n le produit des p^e_p, et $ζ n$ une racine primitive nème de l'unité. En effet, l'extension $K(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ n'est ramifiée qu'en les nombres premiers ramifiés dans K, et n'admet aucune sous-extension partout non ramifiée (ce résultat est classiquement démontré comme conséquence d'une estimation du discriminant par le théorème de Minkowski en géométrie des nombres), donc son groupe de Galois est engendré par ses sous-groupes d'inertie en les nombres premiers p. Le cardinal de ce groupe est donc majoré par le produit des cardinaux des groupes d'inrtie locaux correspondants, qu'on trouve être égal au degré de l'extension $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ , ce qui conclut la démonstration.

La démonstration du cas local du théorème demande de bien connaître les propriétés de ramification des extensions cyclotomiques locales, puis de se ramener au cas d'extensions cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier q, et de discuter suivant que q=p ou non, le cas p=2 devant être traité encore à part.

Pour une extension abélienne donnée K de Q, il existe en fait un corps cyclotomique minimal qui la contient. Le théorème permet de définir le conducteur f de K, comme le plus petit nombre entier n tel que K soit inclus dans le corps engendré par les racines n-ièmes de l'unité. Par exemple, les corps quadratiques ont comme conducteur la valeur absolue de leurs discriminants, un fait généralisé en théorie des corps de classes.