Idéal fractionnaire

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$Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire.$

Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire.

En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant les entiers naturels. Ces anneaux ne disposent en général pas d'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss (1777, 1855).

Les idéaux disposent d'une multiplication, cette opération est associative et il existe un élément neutre constitué de l'anneau tout entier, s'il est unitaire (un anneau est dit unitaire s'il dispose d'un élément neutre). En revanche, l'absence d'inverse empêche de munir l'ensemble des idéaux d'une structure de groupe. Dans le cas des anneaux d'entiers, la structure possède toutes les bonnes propriétés pour offrir un contournement. Cette configuration est axiomatisée dans la définition d'un anneau de Dedekind. Dans un premier temps l'anneau est plongé dans son corps des fractions, puis la notion d'idéal est généralisée. Un idéal fractionnaire est l'analogue d'un idéal dans le corps des fractions.

Cette notion est aussi utilisée en géométrie algébrique.

[modifier] Histoire

$Ernst Kummer met en évidence le concept de nombre idéal à l'origine des notions d'idéaux et d'idéaux fractionnaires de Richard Dedekind.$

Ernst Kummer met en évidence le concept de nombre idéal à l'origine des notions d'idéaux et d'idéaux fractionnaires de Richard Dedekind.

Une tentative de Leonhard Euler (1707 - 1783) pour résoudre le dernier théorème de Fermat si n est égal à 3, l'amène à considérer^[1] les nombres de la forme a + b.i.√3, où a et b sont des entiers naturels et i l'unité imaginaire. La preuve s'avère fausse, un tel anneau n'est pas factoriel, c'est à dire qu'il n'existe pas une unique manière de factoriser un nombre à l'aide de facteurs premiers. Par exemple, 4 est à la fois le carré de l'entier 2 et le produit (1 + i.√3).(1 - i.√3). Si la mise en œuvre est un peu maladroite, l'idée s'avère bonne, Gauss le montre en étudiant^[2] l'anneau des entiers de la forme a + i.b, ici a et b sont des entiers naturels. Il est euclidien et dispose d'une bonne factorisation. Ferdinand Eisenstein (1823 - 1852) découvre le bon anneau d'entiers^[3] pour rendre rigoureuse la démonstration d'Euler. Il est composé des nombres de la forme a + j.b, où j désigne une racine cubique de l'unité, il s'avère aussi être euclidien. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) utilise une astuce pour initialiser la démonstration le grand théorème de Fermat pour n égal à 5^[4], il considère l'anneau des entiers de la forme a + b.√5. Si l'anneau reste euclidien, le groupe des unités devient plus complexe. Cette complexité, qualifiée par Dirichlet d'obstruction est une première difficulté pour la résolution des équations diophantiennes.

Dans le cas général, il est vain d'espérer trouver trouver une structure euclidienne pour les anneaux d'entiers. Ernst Kummer (1810 - 1893) en comprend la raison profonde, qu'il qualifie de deuxième obstruction. Les équivalents des nombres entiers, sur les anneaux d'entiers algébriques ne sont pas assez nombreux. Il ajoute en conséquence ce qu'il appelle des nombres idéaux^[5]. Cette découverte lui permet de démontrer le grand théorème de Fermat pour toutes les valeurs de n inférieures à 100 à l'exception de 37, 59 et 67^[6].

Kummer analyse les entiers algébriques du corps Q[ζ_n], où ζ_n désigne une racine primitive de l'unité, structure maintenant appelée extension cyclotomique. Richard Dedekind (1831 - 1916) et Leopold Kronecker (1823 - 1891) cherchent à généraliser la théorie à toute extension finie des nombres rationnels. Leurs approches sont opposées, Dedekind cherche une théorie fondée sur les caractéristiques structurelles des anneaux d'entiers, quitte à ne pas disposer d'algorithme effectif. Kronecker s'inscrit dans la tradition calculatoire, instaurée par Gauss et suivie par Kummer^[7]. Cette philosophie l'amène à réécrire quatre fois son traité de la théorie des nombres. La version de 1876 contient la définition moderne d'idéal et d'idéal fractionnaire^[8]. Son approche abstraite le pousse à étudier la structure algébrique des idéaux, et particulièrement leur multiplication. L'adjonction des idéaux fractionnaires assure l'existence d'un inverse. La dernière version de son traité, datée de 1894, montre en toute généralité et sous sa forme moderne l'unicité de la décomposition remplaçant le théorème fondamental de l'arithmétique^[9].

[modifier] Définitions

Dans cet article O_K désigne un anneau de Dedekind et K son corps des fractions. L'anneau est par définition commutatif unitaire intègre. Tout idéal de l'anneau admet une base finie en tant que O_K module, tout idéal premier est maximal et l'ensemble des entiers de K est égal à O_K. L'ensemble des idéaux de O_K est noté Id(O_K), l'ensemble des idéaux premiers (resp. principaux) est notée P(O_K) (Resp. Princ(O_K)). La lettre Z désigne l'ensemble des entiers naturels.

Un idéal fractionnaire F de K est un sous-module de K tel qu'il existe un entier d de O_K vérifiant la propriété suivante :

$\forall f \in \mathfrak F \quad d.f \in \mathcal O_{\mathbb K}$

Un idéal est un idéal fractionnaire, cependant la réciproque n'est pas toujours vraie.

Un ensemble F est dit idéal fractionnaire principal de K si et seulement s'il existe k élément de K tel que F est égal à kO_K :

$\mathfrak F = \left\{ f \in \mathbb K \; /\; k.f \in \mathcal O_{\mathbb K} \right\}$

Un idéal fractionnaire est la généralisation naturelle de la définition d'idéal principal.

Une autre définition est utilisée dans cet article :

Soit M et N deux idéaux (resp. idéaux fractionnaires), le produit des deux idéaux (resp. idéaux fractionnaires) est l'idéal (resp. idéal fractionnaire) engendré par les produits d'éléments de M et de N.

L'ensemble des idéaux fractionnaires de O_K est noté Fr (K), l'ensemble des idéaux premiers (resp. principaux) est notée P(K) (Resp. Princ(K)).

[modifier] Propriétés

[modifier] Structure de groupe

La multiplication des idéaux fractionnaires est manifestement associative, il existe un élément neutre O_K, pour obtenir une structure de groupe, il ne reste qu'à montrer que tout idéal fractionnaire est inversible.

Tout idéal fractionnaire de K est inversible.

Ce qui implique directement que :

L'ensemble des idéaux fractionnaires non nuls muni de la multiplication forme un groupe^[10].

Démonstrations

Le fait que tout idéal fractionnaire est inversible n'est pas immédiat, il nécessite d'abord d'établir quelques lemmes :

Tout idéal contient un produit d'idéaux premiers :

Cette propriété est généralement vraie pour tout idéal d'un anneau noethérien. Démontrons là par l'absurde, soit E l'ensemble des idéaux ne contenant pas de produit d'idéaux premiers et M un idéal de E qui, pour la relation d'inclusion est maximal. Si la proposition à démontrer est fausse, M existe bien. Cet idéal n'est pas principal, en effet, tout idéal principal se contient lui-même et n'est donc pas élément de E. On en déduit l'existence d'éléments a et b de O_K tel que ni a ni b n'est élément de M et tel que le produit a.b l'est.

Les idéaux M + aO_K et M + bO_K contiennent M, or aucun idéal ne contenant M n'est dans E, en conséquence il existe deux suites finies d'idéaux premiers (P_i) et (Q_j) tel que le produit des (P_i) soit contenu dans M + aO_K et le produit des (Q_j) soit contenu dans M + bO_K. Ce qui démontre que :

$\mathfrak M \supset \big( \mathfrak M + a\mathcal O_{\mathbb K} \big)\big( \mathfrak M + b\mathcal O_{\mathbb K} \big) \supset \Big(\prod_i \mathfrak P_i\Big)\Big(\prod_j \mathfrak Q_j\Big)$

Ce qui montre que M contient un produit d'idéaux premiers alors qu'il est élément de E. La contradiction démontre la proposition.

Soit k un élément de K et M un idéal, si k.M est inclus dans M, alors k est un élément de O_K :

La fermeture algébrique de K est égal à O_K, il suffit donc de montrer que k est un entier algébrique. L'application φ_k de M dans M qui à m associe k.m est un endomorphisme. Dans le K espace vectoriel produit tensoriel de K par M (produit tensoriel de O_K module) l'application φ_k est une homothétie de rapport k. Ce K espace vectoriel est de dimension finie car M est noethérien. On en déduit que k est racine du polynôme caractéristique de φ_k en tant qu'endomorphisme sur M. Un tel polynôme est unitaire et ne possède que des coefficients entiers. On en déduit que k est un entier algébrique et donc qu'il est élément de O_K.

Un idéal premier M possède un inverse dans les idéaux fractionnaires :

Soit N l'ensemble défini par :

$\mathfrak N = \left\{k\in \mathbb K \; /\; \forall m \in \mathfrak M,\quad k.m \in \mathcal O_{\mathbb K} \right\}$

On vérifie que N est un idéal fractionnaire. Il reste encore à démontrer que N.M est égal à O_K. On remarque que N contient O_K, donc N.M contient N, les deux inclusions suivantes sont vérifiées :

$\mathfrak M \subset \mathfrak N.\mathfrak M \subset \mathcal O_{\mathbb K}$

Comme N.M est un idéal et que M est maximal car premier, soit N.M est égal à M soit à O_K.

Démontrons par l'absurde, que N.M n'est pas égal à M. Si N.M est égal à M alors la proposition précédente montre que tout élément de N est élément de O_K et donc que N est égal à O_K car N contient O_K. Soit m un élément non nul de M. L'idéal mO_K est différent de M, sinon N serait égal à l'idéal fractionnaire principal engendré par m^-1 et m^-1 n'est pas un entier. La première proposition démontrée dans ce paragraphe montre qu'il existe une suite finie (P_i) d'idéaux premiers tel que le produit est inclus dans mO_K, choisissons cette suite de longueur minimale. Comme M contient mO_K, il contient aussi le produit des éléments de la suite finie. Comme M est premier, il contient l'un des idéaux (cf l'article Idéal premier). Comme la suite ne contient que des idéaux premiers, donc maximaux, il existe un idéal de la suite égal à M. Choisissons P₁ égal à M et notons B le produit des P_i pour i différent de 1. Le produit M.B est inclus dans mO_K.

L'idéal B n'est pas contenue dans mO_K car sinon, la suite finie ne serait pas minimale. Il existe ainsi b élément de B qui n'est pas multiple de m. L'élément b.m^-1 n'est pas dans O_K, en revanche, si μ est un élément de M, alors b.μ est élément de mO_K et b.m^-1μ est élément de O_K. Par construction, b.m^-1 est un élément de N, et non de O_K. Cette contradiction démontre la proposition.

Un idéal non nul est produit d'une famille finie d'idéaux premiers :

Raisonnons encore par l'absurde, supposons que la famille des idéaux qui ne s'écrivent pas comme produit d'idéaux premiers soit non vide et considérons M un élément maximal de cette famille. M n'est pas premier car il s'écrirait comme un produit (de lui-même) d'idéaux premiers. M est alors inclus dans un idéal premier P. Une fois encore les inclusions suivantes sont vérifiées :

$\mathfrak M \subset \mathfrak M.\mathfrak P^{-1} \subset \mathcal O_{\mathbb K}$

L'idéal M.P ^-1 ne peut être égal à M car sinon un raisonnement analogue à celui de la proposition précédente montrerait que P ^-1 est inclus dans O_K, ce qui est impossible. La maximalité de M montre que M.P ^-1 est produit d'une famille finie d'idéaux premiers (P_i) l'implication suivante permet de conclure :

$\mathfrak M.\mathfrak P^{-1} = \prod_i \mathfrak P_i \quad \Rightarrow \quad \mathfrak M = \mathfrak P.\prod_i \mathfrak P_i$

Un idéal fractionnaire non nul F est inversible :

Il existe un entier d tel que d.F est un idéal de O_K, ce qui montre l'égalité suivante :

$d\mathcal O_{\mathbb K}.\mathfrak F = \mathfrak M$

L'idéal dO_K (resp. M) est produit d'une famille finie (P_i) (resp. (Q_j) d'idéaux premiers et :

$\mathfrak F = \Big(\prod_j \mathfrak Q_j^{-1}\Big).\Big(\prod_i \mathfrak P_i\Big)$

L'idéal fractionnaire F est produit d'idéaux fractionnaires inversibles et F est inversible.

[modifier] Décomposition en idéaux premiers

Les démonstrations du paragraphe précédent montre que :

Tout idéal fractionnaire se décompose en un produit fini de puissances positives ou négatives d'idéaux premiers.

Un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique s'exprime de la manière suivante :

La décomposition d'un idéal fractionnaire en idéaux premiers est unique.

Ce qui s'exprime en terme de groupe :

Le groupe des idéaux fractionnaires est isomorphe à celui des fonctions de P(O_K) dans Z, nulles partout sauf peut-être sur un sous-ensemble fini de P(O_K).

Enfin, la décomposition en idéaux premiers offre un critère différenciant les idéaux des idéaux fractionnaires :

Un idéal fractionnaire est un idéal si et seulement si toutes les puissances de sa décomposition en idéaux premiers sont positives.

En conséquence, un idéal se décompose aussi de manière unique en produit d'idéaux premiers. Les démonstrations découlent directement de celles du paragraphe précédent^[10].

Démonstrations

Tout idéal fractionnaire se décompose de manière unique en un produit fini de puissances positives ou négatives d'idéaux premier :

Supposons l'existence d'une double décomposition d'un idéal fractionnaire. En multipliant de chaque coté de l'égalité par l' inverse de chaque facteur d'idéaux premier à une puissance négative, on obtient une égalité de puissance positives d'idéaux premiers. En simplifiant de part et d'autre de l'égalité par des idéaux présents de chaque coté on obtient une égalité du type :

$\prod_i \mathfrak P_i = \prod_j \mathfrak Q_j$

On en déduit que P₁ contient le produit de la famille (Q_j). Comme P₁ est un idéal premier, il contient au moins un Q_j. Comme Q_j est premier il est maximal, P₁ et Q_j sont égaux. Cette contradiction démontre la proposition.

Un idéal fractionnaire est un idéal si et seulement si toutes les puissances de sa décomposition en idéaux premiers sont positives.

Si un idéal fractionnaire est produit d'idéaux premiers, c'est un idéal. Réciproquement, une proposition du paragraphe précédent montre que tout idéal est produit d'idéaux premiers. L'unicité de la décomposition en idéaux premiers permet de conclure.

[modifier] Valuation

Article détaillé : Valuation.

L'unicité de la composition en facteurs premiers des idéaux fractionnaires permet, comme pour les entiers naturels ou les rationnels, de définir une valuation sur le groupe.

Soit P un idéal premier, l'application v_P qui à un idéal fractionnaire F différent de {0} associe l'exposant de P dans la décomposition en idéaux premier et qui associe à l'idéal nul la valeur infinie, est appelée valuation sur Fr (K) en P. Cette application est parfois notée v_P.

$\forall \mathfrak F \in \mathfrak {Fr}(\mathbb K)^*\quad \mathfrak F = \prod_{i=1}^n \mathfrak P_i^{\alpha_i} \Rightarrow v_{\mathfrak P_i}(\mathfrak F) = \alpha_i \quad\text{et}\quad \forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\; \quad v_{\mathfrak P}(\{0\})= \infty$

Les résultats du paragraphe précédent justifient le nom de cette application :

Si P est un idéal premier de O_K, l'application valuation sur Fr (K) en P est une valuation.

Ils permettent de démontrer les résultats suivants :

Soit F₁ et F₂ deux idéaux fractionnaires de K, l'idéal fractionnaire F₁ est inclus dans l'idéal fractionnaire F₂ si et seulement si la valuation de F₁ en P est inférieure ou égale à celle de F₂, pour tout idéal premier P de O_K.

$\mathfrak F_1 \subset \mathfrak F_2 \Leftrightarrow \quad \forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}), \; v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1) \ge v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_2)$

Soit F₁ et F₂ deux idéaux fractionnaires de K :

$\forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\quad v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1 \cap \mathfrak F_2) = \max\big(v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1),v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_2)\big)$

Les valuations utilisées s'appliquent généralement à des nombres algébriques et non à des idéaux. Si k est un élément de K, kO_K est un idéal fractionnaire, en conséquence l'application valuation s'applique :

Soit P un idéal premier, l'application v_P qui à un nombre algébrique k de K associe v_P(kO_K) est appelée valuation sur K en P. Cette application est parfois notée v_P.

$\forall k \in \mathbb K^*,\; \forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K})\quad v_{\mathfrak P}(k) = v_{\mathfrak P}(k\mathcal O_{\mathbb K}) \quad\text{et}\quad v_{\mathfrak P}(0)= \infty$

Comme précédemment :

Si P est un idéal premier de O_K, l'application valuation sur K en P est une valuation.^[10]

Démonstrations

Ici, F₁ et F₂ désignent idéaux fractionnaires de K, k₁ et k₂ deux nombres de K.

Pour les idéaux fractionnaires :

$\forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\quad v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1 \cdot \mathfrak F_2) = v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1)+ v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_2)$

Cette proposition est une conséquence directe de la décomposition d'idéaux fractionnaires en idéaux premiers.

$\mathfrak F_1 \subset \mathfrak F_2 \Leftrightarrow \quad \forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}), \; v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1) \ge v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_2)$

Dire que F₁ est inclus dans F₂ revient à dire que F₁.F₂^-1 est inclus dans O_K ou encore est un idéal de O_K. Une proposition du paragraphe précédent montre que tel est le cas si et seulement si la décomposition en idéaux premiers de F₁.F₂^-1 ne comporte que des valuations positives. Ce fait est équivalent à la proposition à démontrer.

$\forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\quad v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1 + \mathfrak F_2) = \min\big( v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1), v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_2)\big)$

Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que F₁ + F₂ est le plus petit idéal contenant F₁ et F₂. La proposition précédente permet de conclure.

$\forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\quad v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1 \cap \mathfrak F_2) = \max\big(v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_1),v_{\mathfrak P}(\mathfrak F_2)\big)$

Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que l'intersection de F₁ et de F₂ est le plus grand idéal fractionnaire contenu dans F₁ et F₂.

Pour les nombres algébriques :

$\forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\quad v_{\mathfrak P}(k_1 \cdot k_2) = v_{\mathfrak P}(k_1)+ v_{\mathfrak P}(k_2)$

Cette propriété est la conséquence directe du fait que le produit des idéaux k₁O_K et k₂O_K est égal à k₁k₂O_K.

$\forall \mathfrak P \in \mathfrak P(\mathcal O_{\mathbb K}),\quad v_{\mathfrak P}(k_1 + k_2) \ge \min\big( v_{\mathfrak P}(k_1), v_{\mathfrak P}(k_2)\big)$

Eliminons les cas triviaux, si k₁ ou k₂ ou k₁ + k₂ est nul, la propriété est vérifiée.

Sinon, soient v₁, v₂ les valuations de k₁, k₂ en P et K₁, K₂ les idéaux fractionnaires définis par k₁O_K = P^v₁K₁, k₂O_K = P^v₂K₂. On suppose que v₂ est supérieur à v₁, on en déduit les inclusions suivantes :

$k_1\mathcal O_{\mathbb K}= \mathfrak P^{v_1}\mathfrak K_1 \subset \mathfrak P^{v_1}\big(\mathfrak K_1 + \mathfrak K_2\big) \quad \text{et}\quad k_2\mathcal O_{\mathbb K}= \mathfrak P^{v_2}\mathfrak K_2 \subset \mathfrak P^{v_1}\mathfrak K_2 \subset \mathfrak P^{v_1}\big(\mathfrak K_1 + \mathfrak K_2\big)$

On en déduit l'inclusion suivante :

$(k_1 + k_2)\mathcal O_{\mathbb K} \subset \mathfrak P^{v_1}\big(\mathfrak K_1 + \mathfrak K_2\big)$

qui démontre la proposition.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

↑ H. M. Edwards Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory Springer 3^ème Ed 2000 (ISBN 0387950028)
↑ Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques trad. française des Disquisitiones arithmeticae par A.-C.-M. Poullet-Delisle 1801 lire
↑ J. H. Conway R. K. Guy Le livre des nombres Eyrolles 1980 (ISBN 2212036388)
↑ Il ne parvient pas à démontrer totalement le cas général, la touche finale est donnée par Adrien-Marie Legendre : Dirichlet Démonstration du théorème de Fermat et de Wilson (compte-rendu par Cournot de quelques mémoires d'Abel, Jacobi et Lejeune-Dirichlet, au Journ. der Mathemat., de M. Crelle, t. 3, cah. 4). 1829, t. 11, p. 153-157
↑ H.M. Edwards, The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci. 14 1975
↑ Ernst Kummer Sur la théorie des nombres complexes, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Paris. 1847
↑ Une analyse est proposée en introduction du texte Dedekind's 1871 version of the theory of ideals de Jeremy Avigad 2004
↑ Richard Dedekind Traité sur la théorie des nombres trad. C. Duverney, Tricorne, Genève, 2006 (ISBN 2829302893)
↑ Richard Dedekind Zur Theorie der Ideale Nachr der K. Ges. Der Wiss. zu Göttingen 1894
↑ ^a ^b ^c Les démonstrations de ce paragraphe sont issus de :Théorie algébrique des nombres un cours de maîtrise par Bas Edixhoven de l'Université de Renne I

[modifier] Liens externes

(fr) Anneaux et modules un cours de master par l'Université de Caen.
(fr) Théorie algébrique des nombres un cours de maîtrise par Bas Edixhoven de l'Université de Renne I.

[modifier] Références

[modifier] Historique

(en) H. M. Edwards Divisor Theory Birkhäuser Boston 1990 (ISBN 0817634487)
(fr) Richard Dedekind Traité sur la théorie des nombres trad. C. Duverney, Tricorne, Genève, 2006 (ISBN 2829302893)
le livre de Dedekind donnant la définition d'idéal fractionnaire.

[modifier] Mathématiques

(fr) Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
(fr) Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
(en) G. H. Hardy E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Science Publications 1980 (ISBN 0198531710)