Entier d'Eisenstein

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Les entiers d'Eisenstein sont les points d'intersection d'un treillis triangulaire dans le plan complexe

En mathématiques, les entiers d'Eisenstein, nommés en l'honneur du mathématicien Ferdinand Eisenstein, sont des nombres complexes de la forme

$z = a + b\,\omega$

où a et b sont des entiers et

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$

est une racine de l'unité cubique complexe. Les entiers d'Eisenstein forment un réseau triangulaire dans le plan complexe. Ils contrastent avec les entiers de Gauss qui forment un réseau carré dans le plan complexe. Ils correspondent à un exemple d'entiers quadratiques qui, comme toute les fermetures intégrales d'une extension finie des nombres rationnels forme un anneau de Dedekind.

Les entiers d'Eisenstein sont utilisés en arithmétique modulaire pour la résolution d'équations diophantiennes, par exemple dans les démonstrations du dernier théorème de Fermat dans le cas où le paramètre est égal à 3. L'équation x² + 3.y² traitée dans l'article Théorème des deux carrés de Fermat possède aussi une méthode de résolution utilisant ces entiers.

[modifier] Propriétés

Les entiers d'Eisenstein forment un anneau commutatif d'entiers algébriques dans le corps de nombres algébriques $\mathbb{Q}\sqrt{-3}\,$ . Ils forment aussi un anneau euclidien.

Pour voir que les entiers d'Eisenstein sont des entiers algébriques, notez que chaque $z = a + b\,\omega\,$ est une racine du monôme

$z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2)\,$ .

En particulier, $\omega\,$ satisfait l'équation

$\omega^2 + \omega + 1 = 0\,$ .

Le groupe des unités dans l'anneau d'Eisenstein est le groupe cyclique formé par les six racines de l'unité dans le plan complexe. Plus précisément, ce sont les suivantes :

{ $\pm\,1\,$ , $\pm\,\omega\,$ , $\pm\,\omega^2\,$ }

Celles-ci sont simplement les entiers d'Eisenstein avec la valeur absolue égale à un.

[modifier] Nombres premiers d'Eisenstein

Si x et y sont des entiers d'Eisenstein, nous disons que x divise y s'il existe un certain entier d'Eisenstein z tel que

$y = z x\,$ .

Ceci étend la notion de divisibilité des entiers ordinaires. Par conséquent, nous pouvons aussi étendre la notion de primalité. Un entier d'Eisenstein non-unitaire x est dit nombre premier d'Eisenstein si ses seuls diviseurs sont de la forme ux et u où u est l'une des six unités.

Il peut être montré qu'un nombre premier ordinaire (ou nombre premier rationnel) qui est 3 ou congru à 1 mod 3 est de la forme $x^2 - xy + y^2\,$ pour certains entiers x,y et peut être par conséquent factorisé en $(x + \omega y)(x + \omega^2 y) \,$ et à cause de ceci, n'est pas premier dans les entiers d'Eisenstein. Les nombres premiers ordinaires congrus à 2 mod 3 ne peuvent pas être factorisés de cette manière et sont premiers dans les entiers d'Eisenstein. Aussi, un nombre de la forme $x^2 - xy + y^2\,$ est un nombre premier rationnel ssi $x + \omega\,y\,$ est un nombre premier d'Eisenstein.