Utilisateur:Ambigraphe/Fourneau

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La notion de nombre en linguistique est traitée à l'article Nombre grammatical

---

Un nombre est un concept permettant d'évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d'ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l'aide d'un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d'opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l'objet d'étude de l'arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

En l'absence d'une définition générale satisfaisante de cette notion^[1], les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques ou géométriques, résoudre des équations, voire pour appréhender l'infini.

En physique, les grandeurs sans unité sont souvent appelées « nombres », tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚp corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : √2 : φ : 0 : i : e : ℵ0 :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

Sommaire 1 Conception 1.1 Comptage et énumération 1.2 Évolution 1.3 Pédagogie 2 Numération 2.1 Origine 2.2 Fraction 2.3 Zéro 3 Arithmétique 3.1 Opérations 3.2 Multiple et diviseur 3.3 Nombre premier 3.4 Vers la théorie des nombres 4 Géométrie 4.1 Nombre figuré 4.2 Rapport de grandeur 4.3 Constructibilité 5 Algèbre 5.1 Résolution d'équations 5.2 Polynôme et racines 5.3 Au delà du réel 6 Analyse 6.1 Transcendance 6.2 Complétion 6.3 Extensions p-adiques 7 Transfini 7.1 Georg Cantor et l'infini 7.2 Analyse non standard 7.3 Construction de Conway 8 Utilisation 8.1 Physique 8.2 Symbolique 9 Notes et références 10 Voir aussi

[modifier] Conception

[modifier] Comptage et énumération

Le concept de nombre naît de l'idée d'appariement, c'est-à-dire de la mise en correspondance d'ensembles (par exemple des êtres humains d'une part et des chevaux d'autre part). Si l'on tente de répartir tous les éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble, il se peut qu'il reste des éléments d'un ensemble en trop, ou qu'il en manque, ou encore qu'il y en ait juste assez. L'expérience montre alors que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d'où la notion de quantité, caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Une quantité d'objets peut donc être représentée par une même quantité d'autres objets. Encore aujourd'hui, les doigts de la main sont couramment utilisés pour désigner quelques unités. Mais cette représentation, dite « cardinale », se révèle contraignante pour des quantités plus importantes. Elle est évincée par une représentation dite « ordinale » : lorsqu'on énumère une quantité d'objets, on avance simultanément dans une liste selon un ordre préétabli (une série d'encoches sur un bâton, une liste de parties du corps, plus tard un alphabet ou une suite de chiffres). La quantité est alors symbolisée par l'élément de la liste sur lequel s'arrête l'énumération.

[modifier] Évolution

L'expression numérique est d'abord limitée aux entiers (strictement positifs) inférieurs à une borne variable selon le système de numération employé. La notation positionnelle permet de dépasser conceptuellement cette borne dès le III^e millénaire avant notre ère. La civilisation babylonienne pratique même le calcul avec des nombres fractionnaires.

Les fractions sont conçues en Égypte antique sous formes de « quantièmes », c'est-à-dire d'inverses d'entiers. Leur manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l'interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que pi, le nombre d'or ou la diagonale du carré ne seront vraiment considérées comme des nombres par les mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.

Même si le chiffre « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiques^[2], le nombre zéro n'apparait en tant que tel qu'au VII^e siècle dans les mathématiques indiennes. Il est repris par la civilisation de l'Islam et importé en Europe au X^e siècle. Sous le qualificatif d'« absurdes », les nombres négatifs sont déjà étudiés au XVI^e siècle mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du XIX^e siècle.

Les nombres algébriques (réels positifs) sont étudiés avec le développement de l'algèbre par les mathématiciens arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le XII^e siècle. Cette même algèbre conduira certains mathématiciens italiens à inventer au XVI^e siècle des nombres « imaginaires », première approche des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu'au XVIII^e siècle. Leur construction géométrique sera d'ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d'autres nombres hypercomplexes pendant le siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le XIX^e siècle pour que soit reconnue l'existence de nombres transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel indépendamment de la géométrie. La procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du XX^e siècle pour construire les nombres p-adiques.

Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du XIX^e siècle, lorsque Georg Cantor définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde moitié du XX^e siècle, l'analyse non standard fait usage de nombres hyperréels puis superréels, tandis que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.

[modifier] Pédagogie

Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l'enfant en bas âge.

Dans l'éducation, l'apprentissage du nombre débute avec l'acquisition de la « chaine numérique »^[3], notamment à l'aide de comptines^[4] : « un, deux, trois… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l'enfant d’énumérer des objets qu'il manipule afin de les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l'énumération), mais aussi pour repérer une position dans une série ordonnée.

L'enseignement décrit le nombre comme une suite de chiffres, éventuellement précédée d'un signe et munie d'une virgule qui sépare les chiffres de la partie entière et ceux de la partie fractionnaire (de gauche à droite).

[modifier] Numération

[modifier] Origine

L'idée de quantité et sa codification visuelle sont vraisemblablement antérieures à l'apparition de l'écriture^[5]. Divers systèmes de numération plus ou moins sophistiqués sont progressivement développés pour décrire la taille d'un troupeau et contrôler son évolution, suivre un calendrier ou mesurer des récoltes^[6].

Au IV^e millénaire avant notre ère, les civilisations mésopotamiennes utilisent ainsi des boules creuses d'argile contenant des jetons, puis des tablettes d'argile munies de marques. Un système de notation (noté « S ») est employé pour la désignation des quantités discrètes, tandis que les surfaces et autres grandeurs sont représentées chacune selon un système de notation propre^[7]. Il faut attendre la fusion de ces systèmes, à la fin du III^e millénaire avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations concrètes^[8].

[modifier] Fraction

La notion de fraction élargit le concept de nombre en intégrant à la fois l'idée de partie fractionnaire et les rapports d'entiers. Elle est intimement liée à la notion de division, remplaçant dividende et diviseur par numérateur et dénominateur. L'appellation de « nombre rationnel » viendra après la reconnaissance de nombres ne pouvant s'écrire comme des fractions et appelés par opposition « irrationnels ».

En tant que nombre, une même fraction peut s'écrire de plusieurs manières comme le quotient de deux entiers, car la multiplication du numérateur et du dénominateur par un même nombre entier ne modifie pas le rapport de grandeur. Mais la représentation irréductible est l'unique choix de numérateur et de dénominateur qui induise tous les autres par multiplication. La détermination de cette représentation passe par la recherche d'un diviseur commun au numérateur et au dénominateur le plus grand possible, qui s'appelle donc plus grand commun diviseur. L'algorithme d'Euclide permet de calculer ce dernier à l'aide d'une suite de divisions euclidiennes.

Les opérations précédemment définies sur les nombres entiers s'étendent aux fractions.

[modifier] Zéro

[modifier] Arithmétique

[modifier] Opérations

Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des opérations sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l'opération d'addition et la répétition d'une certaine quantité donne lieu à la multiplication. Ces deux opérations directes admettent des opérations réciproques : la soustraction et la division, qui permettent de retrouver l'un des opérandes à partir du résultat et de l'autre opérande.

Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de calcul. Mais contrairement aux opérations directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n'aboutissent que sous certaines conditions. Ainsi, avant l'utilisation des nombres négatifs, un nombre ne peut être soustrait qu'à un nombre plus grand^[9]. De même, la notion de divisibilité décrit la réalisabilité d'une division. Le processus de division euclidienne a cependant l'avantage de fournir un résultat même sans l'hypothèse de divisibilité. Cette dernière s'exprime alors par l'absence de reste.

À partir du moment où la multiplication apparaît comme une opération purement numérique, sa répétition définit les puissances d'un nombre, dont les opérations réciproques sont appelées racines. D'autres opérations telles que la factorielle sont développées dans le cadre de la combinatoire.

[modifier] Multiple et diviseur

Dans ce paragraphe, tout nombre est sous-entendu entier et strictement positif.

Étant donné un nombre, l'ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l'ensemble des diviseurs d'un nombre est toujours fini et sa répartition n'a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d'une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c'est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

[modifier] Nombre premier

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d'autres nombres par division, sans être eux-même décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de l'ensemble des diviseurs.

[modifier] Vers la théorie des nombres

Les opérations définies sur les entiers s'étendent à d'autres objets mathématiques qui ne prendront que progressivement le statut de nombre. Les nombres fractionnaires, les fractions, puis zéro et les nombres négatifs, les nombres algébriques et certains nombres d'abord qualifiés d'« imaginaires » sont l'objet d'étude d'une arithmétique qui se développe jusqu'à prendre le nom de théorie des nombres.

[modifier] Géométrie

[modifier] Nombre figuré

L'évaluation d'une quantité d'objets se fait plus ou moins rapidement selon la manière dont les objets sont rangés. Par exemple, seize jetons se comptent bien plus facilement s'ils sont disposés en carré que s'ils sont jetés en désordre sur une table. De même, la tetraktys des pythagoriciens est le rangement de dix points en triangle. D'autres formes sont étudiées sous cet angle dans le plan (hexagones par exemple) ou dans l'espace par des empilements de figures.

Cette vision des nombres comme des configurations géométriques permet entre autres d'interpréter le produit de deux nombres comme le rectangle dont les côtés sont décrits par ces deux nombres, d'où la nécessaire commutativité de la multiplication, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel on effectue la multiplication n'a pas d'influence sur le résultat. D'autres propriétés arithmétiques peuvent s'énoncer géométriquement. Ainsi, un nombre est pair s'il est représentable par un rectangle sur deux lignes ; il est premier si la seule manière de le représenter sous forme de rectangle est une ligne de plusieurs points.

[modifier] Rapport de grandeur

Certains nombres proviennent de rapports géométriques comme pi, rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, ou le nombre d'or, né du problème de la division « en extrême et moyenne raison ».

[modifier] Constructibilité

[modifier] Algèbre

[modifier] Résolution d'équations

[modifier] Polynôme et racines

[modifier] Au delà du réel

[modifier] Analyse

[modifier] Transcendance

[modifier] Complétion

[modifier] Extensions p-adiques

[modifier] Transfini

[modifier] Georg Cantor et l'infini

[modifier] Analyse non standard

[modifier] Construction de Conway

[modifier] Utilisation

[modifier] Physique

[modifier] Symbolique

[modifier] Notes et références

[modifier] Voir aussi

Constante

• physique : Avogadro
• mathématique : d'argent, d'or, de Feigenbaum, de Graham, de Shannon, de Skewes, de Hardy-Ramanujan, de Neper, plastique
• sociologie : de la Bête

Liste d'entiers

• physique : magique

Relatif

• théorie des graphes : achromatique
• quantique : quantique, baryonique, leptonique, de spin, principal, secondaire, magnétique
• optique : d'Abbe, d'ondes, guide
• mécanique des fluides : d'Archimède, d'Ekman, de Bond, de Deborah, de Froude, de Galilée, de Grashof, de Hagen, de Knudsen, de Rayleigh, de Reynolds, de Reynolds magnétique, de Rossby, de Schmidt, de Strouhal, de Taylor
• socio : d'Erdös, de Dunbar
• industrie pétrolière : d'Octane Research
• thermodynamique : de Biot, de Fourier, de Lewis, de Nusselt, de Prandtl, de Péclet, de Richardson, de Sherwood, volumique de molécules,
• chimique : d'oxydation, de charges, de coordination, de masse
• analyse numérique : de conditionnement
• usinage : de passes
• biologie : diploïde
• norme : préférentiel
• mécanique : de Mach

Douteux : gnomonique