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Puisque tu me le demandes, je donne mon avis :

Dans l'introduction, tu présentes la norme comme une notion algébrique. J'articulerais l'introduction autrement :

En mathématiques, la norme est une manière de définir une distance sur un espace vectoriel adapté aux lois algébriques (somme et multiplication externe). Les premières distances rencontrées, les distances euclidiennes sur des espaces affines réels de dimensions 2 et 3, sont de cette nature : leur sont associées les normes euclidiennes, qui ont toute leur importance en géométrie.

L'analyse consomme énormément de normes (ou de semi-normes). De nombreuses majorations peuvent être interprétées comme des inégalités sur des normes. En premier lieu, en analyse fonctionnelle, de nombreuses normes d'usage courant s'introduisent sur des espaces de fonctions ; leur utilisation est indispensable pour exprimer la différentiation. Au delà, leur manipulation apparait dans des estimations, des approximations, des utilisations d'opérateurs, ... Parmi les plus récurrentes, on peut citer les normes L_p rencontrées dans les théories d'intégration, et les normes de Sobolev W_k,p permettant de pouvoir exprimer les solutions d'une équation aux dérivées partielles sous forme faible. Souvent, toujours en analyse, les normes sont définies sur des espaces vectoriels réels ou complexes.

La définition générale de norme est valable sur tout espace vectoriel sur tout corps, à condition de disposer d'une notion équivalente au module. Couramment en algèbre se rencontrent des normes. En théorie des nombres, dans un corps de nombres, la norme d'un élément est le déterminant de la multiplication par cet élément sur le corps considéré comme espace vectoriel rationnel. Dans le contexte des codes correcteurs d'erreurs, la norme zéro ou norme de Hamming est une fonction définie sur K_n qui associe à chaque vecteur le nombre de coordonnées non nulles.

C'est une bonne chose que de commencer par la norme euclidienne usuelle. Il faut rappeler que dans ce contexte, la distance euclidienne est invariante par translation. La norme d'une vecteur défini par deux points ne dépend donc que de la position relative de l'un par rapport â l'autre.

Dans la définition formelle, K n'est pas nécessairement un sous-corps de C ! Une valeur absolue sur un corps est une application nulle uniquement en 0, sous-additive, et multiplicative. Par exemple, sur niq corps on peut considérer la valeur absolue triviale valant 1 sur tout élément non nul. C'est la seule sur un corps fini.

Il faut sourcer l'information de Bertrand Russel.

Sinon, pour répondre à ta question, il n'y a pas vraiment d'approche idéale. Je trouve malheureusement que bcp d'articles ne mettent pas en perspective les résultats. Ici, on définit des normes sans dire pourquoi elles sont intéressantes à considérer, et sans donner leurs propriétés. On donne même des normes douteuses (= a priori inutiles de les citer).

Par exemple, les normes d'opérateurs ont réellement un intérêt puisqu'elles correspondent entre autres à des constantes dans des majorations. Dans ce cas, le calcul explicite de la constante et donc de la norme est rarement intéressant. Il faut savoir cependant que la norme majore les valeurs spectrales (résulte d'un calcul direct), propriété vérifiée aussi pour les algèbres normées complètes. Malheureusement, il peut se faire que la topologie associée aux normes d'opérateurs (appelée topologie normique) soit très mal adaptée aux applications. L'espace des opérateurs bornés peut être muni de nombreuses autres topologies, chacune présentant son intérêt. Par exemple, en vertu du théorème d'Alaoglu, il est plus facile de définir un opérateur comme limite faible d'opérateurs, plutôt que comme limite au sens de la normne d'opérateurs.

Autrement dit, il faut faire sentir que toutes les normes citées dans cet article n'ont rien d'innocentes, qu'elles ont toutes des applications. Cependant certaines peuvent avoir des limites, il faut faire sentir lesquelles, quitte à donner des explications un peu floues.

Ekto - Plastor 6 juillet 2007 à 13:33 (CEST)

[modifier] Autre avis

Voilà le mien (sollicité aussi), j'écris au fil du texte, sans avoir beaucoup réfléchi.

L'introduction est par certains côtés moins bien que l'actuelle car elle peut faire peur et l'allusion aux EDP me semble vraiment trop allusive pour être utile, je préfère la phrase correspondante dans l'intro d'origine. Bref, il faudrait sans doute un mélange de l'intro actuelle et ce celle-ci.

La partie niveau lycée est vraiment bienvenue, à la fois pour commencer l'article en douceur et introduire la définition abstraite. Ce serait donc d'autant plus dommage d'effrayer par l'introduction. Le mot polarisation pourrait apparaître s'il est encore employé au moins en premier cycle universitaire.

La phrase sur la valeur absolue constante semble dire qu'il faut supposer le corps fini.

Sur la topologie, la notion d'isomorphisme uniforme n'est peut-être pas indispensable.

Les exemples en dimension finie sont présentés de façon bien sympathique. On peut sans doute ajouter des exemples de normes sur les ensembles de matrices.

Dans les exemples de dimension infinie la notation pour la norme C^1 ne m'est pas familière. Je ne sais pas si on ne pourrait pas ajouter une phrase ou deux pour dire que le bon comportement des espaces L^p en intégration de Lebesgue est un des points forts de cette théorie. On pourrait aussi parler du processus de completion qui permet de définir un grand nombre d'espaces fonctionnels comme complétions d'espaces de fonctions lisses pour des normes diverses. D'ailleurs le mot Banach est sans doute le grand absent de cet article, il faudrait sans doute au moins une référence à un autre article.

Globalement il s'agit clairement d'une amélioration de l'article d'origine. Il peut paraître un peu sec en illustrations de l'importance de ce concept mais je ne vois pas trop comment on pourrait y incorporer des exemples significatifs sans faire exploser la taille de l'ensemble et perdre en clarté. Pmassot 9 juillet 2007 à 16:15 (CEST)

[modifier] Troisième colonne

Bravo pour cette jolie tablette de navigation. Mais quel est le sens de la troisième colonne "opérations catégoriques" ? J'aurais évoqué le produit et le coproduit, la puissance, l'équalisateur et le coéqualisateur. Tu sembles croire ou faire croire que le bouquet en topologie est une opération "catégorique" plus que ne l'est la borne inférieure dans un trellis. Certes, un bouquet peut être vu comme un produit dans la catégorie des espaces topologiques pointés ; mais la borne inférieure de deux éléments d'un trellis n'est autre que le produit de ces éléments vus comme objets de la catégorie sous-jacente.

La distinction entre opérations spécifiques et opérations catégoriques me semble bien superficielle. Par contre, je serais pour distinguer opérations proprement ensemblistes (même si tout peut être vu comme ensemble). En particulier, la réunion, l'intersection, la différence symétrique, la puissance, le complémentaire, le produit cartésien, l'union disjointe, le quotient, ...

Kelemvor 8 novembre 2007 à 23:05 (CET)

Les noms des colonnes sont encore susceptibles de changer. Mais je voulais répartir les opérations binaires en fonction de la structure sur lesquelles elles sont définies. La première colonne répertorie sans surprise les opérations sur les nombres. En dernière colonne se retrouvent les opérations définies sur des classes d'objets qui ne sont pas des ensembles (à part éventuellement la somme connexe, définie sur l'ensemble des variétés connexes de dimension fixée à difféo près). La troisième colonne a hérité des opérations sur les structures ordonnées. La deuxième récupère le reste. J'ai ainsi distingué les opérations sur l'ensemble des parties d'un ensemble et celles sur la catégorie des ensembles.
Soit dit en passant, l'égalisateur n'appartient pas au même espace que ses opérandes, or j'ai fait le choix (discutable) d'écarter les opérations binaires à résultat externe, tel le produit scalaire. Ambigraphe, le 9 novembre 2007 à 11:23 (CET)