Variété algébrique

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Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un ensemble de polynômes à plusieurs variables. La géométrie algébrique est la théorie qui étudie les variétés algébriques, et plus généralement les schémas.

Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques: elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilisera ici le deuxième point de vue.

Dans un premier temps, on présente les variétés algébriques (quasi-projectives) sous l'angle concret des ensembles algébriques. Ensuite on donne la définition générale avec les espaces topologiques annelés.

[modifier] Ensembles algébriques

Les ensembles algébriques sont, grosso modo, les points d'une variété algébrique.

[modifier] Les ensemble algébriques affines

C'est le prototype des ensembles algébriques.

Cadre. Dans cette section k désignera un corps algébriquement clos (par exemple $\mathbb{C}$ ), n un entier supérieur ou égal à un. On considère l'espace affine de dimension n sur k, c’est-à-dire l'ensemble kⁿ.

Définition. Soit S une partie de l'anneau des polynômes $k[X_1,\ldots,X_n]$ , on appelle ensemble algébrique associé à S et on note Z(S) le sous-ensemble de k^n:

$Z(S)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{A}_k^n, \forall f\in S,\ f(x_1,\ldots,x_n)=0\}$

C’est-à-dire le lieu d'annulation commun à tous les éléments de S.

Remarque. Si I est l'idéal de $k[X_1,\ldots,X_n]$ engendré par S, alors Z(I)=Z(S). Le théorème des zéros de Hilbert établit une correspondance bijective entre les ensembles algébriques de k^n et les idéaux radiciels de $k[X_1,\ldots,X_n]$ . Cette correspondance envoie un ensemble algébrique Z sur l'idéal des polynômes s'annulant en tous les points de Z. Les points de Z(I) correspondent aux idéaux maximaux de $k[X_1,\ldots,X_n]/I$ , et les ensembles algébriques correspondant aux idéaux premiers sont dits irréductibles.

Exemples.

Dans le plan affine $k 2$ , le lieu d'annulation d'un polynôme à deux variables est un ensemble algébrique affine appelé courbe plane et le degré du polynôme est appelé degré de la courbe. Les droites sont les ensembles algébriques de degré 1, les coniques ceux de degré 2, les cubiques ceux de degré 3 et ainsi de suite.
Dans l'espace affine $k 3$ le lieu d'annulation d'un polynôme à trois variables est un ensemble algébrique affine qui est une surface algébrique . Tout comme pour les courbes on définit le degré d'une surface, les plans sont de degré 1, les quadriques de degré 2 etc.
Dans un espace affine, un ensemble fini de points est un ensemble algébrique affine.

[modifier] Les ensembles algébriques projectifs.

La géométrie algébrique projective est un cadre plus confortable. La projectivité est un analogue de la compacité topologique. Le théorème de Bezout n'est vrai que pour des variétés projectives.

Cadre. Dans cette partie $\mathbb{P}_k^n$ désigne l'espace projectif de dimension n sur k, c'est-à-dire l'ensemble kⁿ⁺¹−{0}/~, où ~ est la relation d'équivalence identifiant deux points x et y si et seulement si x et y sont sur la même droite passant par l'origine. L'espace projectif de dimension n s'identifie donc à l'ensemble des droites vectorielles d'un k-espace vectoriel de dimension n+1.

Définition. Soit S un ensemble de polynômes homogènes de l'anneau $k[X_0,\ldots,X_n]$ . On appelle ensemble algébrique (projectif) associé à S et on note Z_+(S) le sous-ensemble de $\mathbb{P}_k^n$ :

$Z_+(S)=\{(x_0:\ldots:x_n)\in \mathbb{P}_k^n, \forall f \in S,\ f(x_0,\ldots,x_n)=0\}$

$(x_0 : \ldots : x_n)$ sont les coordonnées homogènes d'un point de $\mathbb{P}_k^n$ . Remarquons que l'annulation du polynôme f en un point de $k n + 1 - 0$ ne dépend que de la classe de ce point modulo la relation ~. L'ensemble Z_+(S) est donc bien défini. L'indice + sert à distinguer les zéros homogènes des zéros affines.

Exemple Soit F un polynôme homogène à deux variables, non-nul, de degré d. L'ensemble algébrique projectif Z_+(F) du plan projectif $\mathbb{P}_k^2$ est appelé une courbe projective plane, de degré d.

Remarque. Si I est l'idéal homogène de $k[X_0,\ldots,X_n]$ engendré par S alors Z(I)=Z(S). Ensuite, tout comme dans le cas des ensembles algébriques affines il existe un théorème des zéros de Hilbert projectif qui établit une correspondance bijective entre les ensembles algébriques projectives dans $\mathbb{P}_k^n$ et les idéaux homogènes radiciels distincts de $(X_0,\ldots,X_n)$ (idéal engendré par $X_0,\ldots,X_n$ . Un point de l'espace projectif correspond à un idéal premier homogène, maximal parmi ceux différent de $(X_0,\ldots,X_n)$ . À un point de coordonnées homogène $(x_0 : \ldots : x_n)$ , on lui associe l'idéal engendré par les $x i X j - x j X i$ , pour i et j variant entre 0 et n.

[modifier] Topologie de Zariski

L'espace affine k^n (resp. projectif $\mathbb{P}_k^n$ ) est muni de la topologie dite de Zariski. Les fermés pour cette topologie sont les ensembles algébriques (resp. ensembles algébriques projectifs). La topologie de Zariski sur un ensemble algébrique (resp. ensemble algébrique projectif) est induite par celle de l'espace affine (resp. projectif).

Un sous-ensemble ouvert d'un ensemble algébrique affine (resp. projectif) est appelé quasi-affine (resp. quasi-projectif).

L'espace affine k^n est quasi-projectif car il s'identifie à l'ouvert $\mathbb{P}_k^n - Z_+(X_0)$ de $\mathbb{P}_k^n$ par l'application (x₁,...x_n) -> (1:x₁,...,x_n). On vérifie que cette application induit un homéomorphisme de l'espace affine sur son image. Il suit que tout ensemble algébrique quasi-affine est quasi-projectif.

Exemple: Les parties fermées de la droite affine k sont les parties finies et k lui-même.

La topologie de Zariski est apparemment assez pauvre (peu d'ouverts, deux points ne sont en général pas séparés par des voisinages ouverts disjoints), mais elle est suffisante pour beaucoup de propos.

[modifier] Morphismes de variétés

[modifier] Variétés algébriques

(Voir Schémas ?)

[modifier] Faisceaux des fonctions régulières

[modifier] Définition des variétés algébriques et des morphismes

Exemples

[modifier] Propriétés de base

Fermés irréductibles, dimension, variétés réduites, intègres.

Morphismes: immersions, morphismes affines, morphismes propres, morphismes projectifs, morphismes finis.

Produit : définition, produits de variétés affines, produits de variétés projectives (Segre).

[modifier] Aspect différentiel

Espace tangent de Zariski, variétés algébriques lisses (non-singulières), critère jacobien, morphismes étales et structure locale de variétés lisses (revêtements étales d'espaces affines, comparaison avec les variétés différentielles ou complexes).