Théorème des zéros de Hilbert

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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème central de géométrie algébrique qui fait le lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

[modifier] Énoncé

Il existe plusieurs formulations équivalentes du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1

Si K un corps, (a_i)_{1\le i\le n} \in K^n, alors l'idéal I:=(X_1-a_1, \dots ,X_n-a_n) est un idéal maximal de K[X_1, \dots,X_n].


Démonstration

Pour montrer que I est maximal, nous allons montrer que K[X_1, \dots ,X_n] /\ I est un corps.

On considère le morphisme d'anneau surjectif \phi : K[X_1, \dots,X_n] \rightarrow K :

P \mapsto P(a_1, \dots, a_n)

φ est un morphisme d'anneau surjectif: \forall \lambda \in K \ P(X_1,...X_n) := \Pi_{i=1}^n (X_i-a_i) + \lambda \in K[X_1....,X_n]\ et\ \phi (P)=\lambda.

On a ainsi K[X_1,...X_n] /\ Ker(\phi ) \approx K, avec K un corps, donc Ker(φ) est un idéal maximal.

Montrons maintenant que Ker(φ) = (X1 − a1,...,Xn − an)

Soit P \in K[X_1,...,X_n] et divisons le par X1 − a1. On a ainsi P=(x_1-a_1)Q_1+R_1 \ avec\ R_1 \in K[X_2,...,X_n] Par récurrence sur n, on a : P=(X_1-a_1)Q_1+(X_2-a_2)Q_2+....+(X_n-a_n)Q_n+R_n\ avec\ R_n \in K Et finalement P\in Ker(\phi) \Leftrightarrow R_n=0 \Leftrightarrow P\in (X_1-a_1,....,X_n-a_n).

Théorème 2

Soit K un corps, L une K-algèbre de type fini.

Si L est un corps, alors L est une extension algébrique de K.

Thèorème 3 (Nullstellensatz)

Si K est algébriquement clos, on a :

Si M est un idéal maximal de K[X_1,\dots ,X_n] \,, alors il existe (a_1,\dots a_n) \in K^n tel que M=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n).


Démonstration

Soit M un idéal maximal de K[X_1,\ldots ,X_n]\,.

L:= K[X_1,\ldots ,X_n] /\ M est une K-algèbre de type fini, et L est un corps puisque M est maximal.

D'après le théorème 2, L est un extension algébrique de K qui est lui même algébriquement clos.

On a donc K=L.

Donc \forall i \ ,\ \exists a_i \in K \ tel\ que\ \bar X_i = \bar a_i \Rightarrow \bar X_i - \bar a_i =0 \Rightarrow X_i-a_i \in M.

On a donc (X_1-a_1,\ldots ,X_n-a_n) \subset M, mais comme M est maximal, on a l'égalité.

Théorème 4 (Existence des zéros)

Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre I \in K[X_1,\dots ,X_n], V(I) \neq \varnothing.

Exemple : (X^2+1)\, est un idéal maximal dans \mathbb R [X] puisque {\mathbb R [X]} /\ (X^2+1) \simeq \mathbb C et il n'existe pas de x \in \mathbb R tel que (X2 + 1) = (X − x).


Démonstration

Soit K un corps algébriquement clos. Soit I un tel idéal.

I est inclus dans un idéal maximal M, d'où d'après le théorème 3, M=(X_1-a_1,\ldots ,X_n-a_n)\, et donc (a_1,\ldots ,a_n)\in V(I)\Rightarrow I\ne \varnothing.