Quadrique

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En géométrie euclidienne, une quadrique, ou surface quadratique, est une surface de l'espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2

A x 2 + B y 2 + C z 2 + 2 D y z + 2 E x z + 2 F x y + G x + H y + I z + J = 0

les coefficients A à J étant réels, avec A,B,C,D,E,F non tous nuls.

Plus généralement, on peut considérer les quadriques dans le cadre des espaces affines, de dimension 3 ou plus. Ce sont alors des hypersurfaces, lieu d'annulation d'un polynôme de degré 2. On peut également les étudier dans le cadre de la géométrie projective, qui simplifie et unifie complètement les résultats. On peut également prendre un autre corps de base que celui des réels.

Les quadriques de la géométrie euclidienne peuvent être classifiées : par un changement de repère cartésien, chaque quadrique peut voir son équation ramenée à une des formes normalisées ou canoniques. Il existe 17 formes normalisées, dont des formes dites dégénérées, qui donnent l'ensemble vide, une droite, un plan ou encore la réunion de deux plans sécants ou parallèles... Les plus intéressantes sont :

L'ellipsoïde	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \,$
L'hyperboloïde à une nappe (H1)	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \,$ ,
L'hyperboloïde à deux nappes (H2)	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \,$ ,
Le paraboloïde elliptique (PE)	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =z \,$ ,
Le paraboloïde hyperbolique (PH)	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z \,$ ,
Le cône à base elliptique	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,$ ,
Le cylindre elliptique	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,$ ,
Le cylindre hyperbolique	$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 \,$ ,
Le cylindre parabolique	$\displaystyle{x^2 = 2 p y}$ .

La détermination des formes normalisées se fait par l'intermédiaire de l'étude et de la réduction de la forme quadratique

Q (x, y, z) = A x 2 + B y 2 + C z 2 + 2 D y z + 2 E x z + 2 F x y

naturellement associée à l'équation.

Sommaire

1 Classification en géométrie euclidienne
2 Classification en géométrie affine
3 Classification en géométrie projective
4 Quadrique en dimension quelconque

[modifier] Classification en géométrie euclidienne

En tant que forme quadratique, on peut associer $Q$ à la matrice symétrique suivante :

$M_Q=\begin{pmatrix} A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C\end{pmatrix}$

dont les valeurs propres sont toutes réelles puisque la matrice est symétrique ; ces valeurs propres permettent une classification aisée des quadriques - selon la nature des autres termes de l'équation descriptive. Dans un cas non dégénéré, au moins l'une de ses valeurs propres n'est pas identiquement nulle. Notons les $λ,μ,ν$ et supposons qu'on a déjà eu recours à une diagonalisation de l'équation afin d'obtenir la forme équivalente :

$Q (x, y, z) = λ x 2 + μ y 2 + ν z 2 + a x + b y + c z + d$

On note ici que si une des valeurs propres n'est pas nulle, on peut recentrer la coordonnée correspondante et faire ainsi disparaître le terme linéaire correspondant. En cas contraire, cela signifie que la quadrique est un paraboloïde ou un cylindre à base parabolique.

[modifier] Classification en géométrie affine

[modifier] Classification en géométrie projective

[modifier] Quadrique en dimension quelconque

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont $\{x1, x2, \dots, xD\}$ , la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :