Théorème des quatre sommets
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
Le théorème des 4 sommets consititue un résultat remarquable de géométrie différentielle quant aux propriétés globales des courbes fermées.
Sommaire |
[modifier] Enoncé
[modifier] Enoncé dans le cas le plus simple
Soit γ une courbe fermée convexe, paramétrée par sa longueur s. Soit k(s) la courbure calculée au point γ(s). Alors il existe au moins 4 paramètres si pour lesquels k'(si) = 0.
La signification géométrique de ce résultat est que la courbure est soit constante, soit possède au moins 4 extrema. On pourra en trouver une démonstration dans [ManDoCar]
[modifier] Cas général
Le théorème des 4 sommets à d'abord été démontré pour les courbes convexes (c'est-à-dire à courbure positive) en 1909 par Syamadas Mukhopadhyaya.[1] Sa preuve utilise le fait qu'un point de la courbe est un extremum de la fonction courbure si et seulement si le cercle osculateur en ce point possède un contact en 4 points avec la courbe (dans le cas général, le cercle osculateur possède 3 points de contact avec la courbe)). Le théorème des 4 sommets a été démontré dans le cas général par Adolf Kneser en 1912.[2]
[modifier] Reciproque
La réciproque du théorème des quatre sommets énonce qu'une fonction continue, à valeur réelle, et ayant pour domaine de définition le cercle unité et qui par ailleurs possède 2 maxima locaux et 2 minima est la courbure d'une courbe simple et fermée du plan. La réciproque a été prouvée pour des fonctions strictement positives en 1971 par Herman Gluck, en tant que cas particulier d'un théorème plus général concernant le précalcul de la courbure sur une n-spheres.[3] La réciproque a été finalement démontrée dans le cas général par Björn Dahlberg peu de temps avant sa mort en Janvier 1998 et publiée à titre posthume.[4] La preuve de Dahlberg utilise principalement l'indice, argument que l'on retrouve par ailleurs dans certaine démonstration du théorème fondamental de l'algèbre.
[modifier] Sources
-
[ManDoCar] Manfredo Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, Rio de Janeiro, 1976, 503 p. (ISBN 0132125897)
[modifier] Notes et références
- ↑ S. Mukhopadhyaya, « New methods in the geometry of a plane arc », dans Bull. Calcutta Math. Soc., 1, p. 21-27
- ↑ Kneser, Adolf (1912). "Bemerkungen uber die Anzahl der Extrema des Krummung auf geschlossenen Kurven und uber verwandte Fragen in einer nicht eucklidischen Geometrie". Festschrift Heinrich Weber: 170-180, Teubner.
- ↑ Herman Gluck, « The converse to the four-vertex theorem », dans L'Enseignement Math., 17, p. 295-309
- ↑ Björn Dahlberg, « The converse of the four vertex theorem », dans Proc. Amer. Math. Soc., 133, p. 2131-2135 [texte intégral]
