Inégalité arithmético-géométrique

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Étant donnés n réels strictement positifs x_1,\, \dots,\, x_n, on définit leur moyenne arithmétique \ m_a et leur moyenne géométrique \ m_g :

m_a = \frac{1}{n}\, (x_1 + \cdots + x_n) et m_g = \sqrt[n\,]{x_1 \cdots x_n}.

Il est classique que :

  • m_g \leq m_a.
  • \ m_g = m_a si et seulement si les \ x_i sont tous égaux.

On démontre habituellement cela à l’aide d’une inégalité de convexité.


Démonstration

Comme \ m_g > 0 et \ m_a > 0, m_g \leq m_a équivaut (par croissance stricte du logarithme)

à \ln(m_g) \leq \ln(m_a),
ou à \frac{1}{n}\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right).
Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de convexité appliquée à la fonction logarithme népérien (concave), et aux coefficients (tous égaux) t_1 = \cdots = t_n = \frac{1}{n}.

Le cas d'égalité résulte de ce que le logarithme népérien est strictement concave.