Hypersphère

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En mathématiques, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension supérieure à 3. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien $\mathbb R^{n+1}$ , notée en général $\mathbb S^n$ .

[modifier] Définition

Soit E espace euclidien de dimension n+1. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R nombre réel tel que R>0, l'ensemble des points M pour lesquels la distance AM vaut R.

Quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors dans un système de coordonnées orthonormales

$R^2=\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2.\,$

Par exemple

pour le cas n=0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et -R.
pour le cas n=1, l'hypersphère est un cercle
pour le cas n=2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel

[modifier] Propriétés

[modifier] Volume

Le volume de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n-1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

$V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,$

où $Γ$ désigne la fonction gamma. En particulier, pour n pair, $Γ(n / 2 + 1) = (n / 2)!$ .

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières hypersphères de rayon 1 :

n	Volume
n	Val. exacte	Val. approchée
1	$2$	2
2	$π$	3,14159...
3	$\frac{4}{3}\pi$	4,18879...
4	$\frac{1}{2}\pi^2$	4,93480...
5	$\frac{8}{15}\pi^2$	5,26379...
6	$\frac{1}{6}\pi^3$	5,16771...
7	$\frac{16}{105}\pi^3$	4,72478...
8	$\frac{1}{24}\pi^4$	4,05871...

Le volume d'une telle hypersphère est maximal pour n=5. Pour n>5, le volume des hypersphères est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite du volume à l'infini est nulle :

$\lim_{n \to \infty}V_n = 0.$

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2ⁿ ; le rapport entre les volumes de l'hypersphère et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.

[modifier] Aire

L'aire de la surface délimité par une hypersphère de dimension n et de rayon R peut être déterminée en prenant en compte la dérivée de son volume par rapport au rayon :

$S_n=\frac{dV_n}{dR}=\frac{n V_n}{R}={2\pi^{n/2}R^{n-1}\over\Gamma(n/2)}.$

$Γ$ désigne ici aussi la fonction gamma.

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 8 premières hypersphères de rayon 1 (l'aire de l'hypersphère de dimension 1 est cependant omise) :

n	Aire
n	Val. exacte	Val. approchée
2	$2π$	6,28318...
3	$4π$	12,56637...
4	$2π 2$	19,73920...
5	$\frac{8}{3}\pi^2$	26,31894...
6	$π 3$	31,00627...
7	$\frac{16}{15}\pi^3$	33,07336...
8	$\frac{1}{3}\pi^4$	32,46969...

L'aire d'une telle hypersphère est maximale pour n=7. Pour n>7, l'aire des hypersphère est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite de l'aire à l'infini est nulle :

$\lim_{n \to \infty}S_n = 0.$