Développée

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développée d'une ellipse
développée d'une ellipse

En géométrie, la développée d'une courbe est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme \vec{f}(s), le centre de courbure s'obtient en posant

\vec{g}(s)=\vec{O\Omega(s)} = \vec{f}(s)+\gamma(s)^{-1} \vec{N}(s)

Et le vecteur dérivé de la développée est

\vec{g'}(s)= \vec{f'}(s)+\gamma(s)^{-1} \vec{N'}(s)-\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)^2} \vec{N}(s) = -\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)^2} \vec{N}(s)

en utilisant les formules de Frénet.

Ainsi,

  • les points stationnaires de la développée g correspondent aux extrema de la courbure (les sommets) de f
  • entre deux extrema de la courbure de l'arc f, la tangente à la développée g au point de paramètre s est la normale à la courbe f.