Stabilité EBSB

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En électrotechnique, plus spécifiquement en traitement du signal et en automatique, la stabilité EBSB est une forme de stabilité pour les signaux et les systèmes. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée. Si un système est stable EBSB, alors la sortie est bornée quelque soit l'entrée bornée du système.

Sommaire

1 Condition dans le domaine temporel
- 1.1 Condition nécessaire et suffisante en temps continu
- 1.2 Condition nécessaire et suffisante en temps discret
2 Démonstration
- 2.1 démonstration de la condition nécessaire
- 2.2 démonstration de la condition suffisante
3 Condition dans le domaine fréquentiel
- 3.1 Signal continu
- 3.2 Signal discret
4 Critères de Stabilité
5 Voir aussi

[modifier] Condition dans le domaine temporel

[modifier] Condition nécessaire et suffisante en temps continu

En temps continu, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument integrable, i.e. que sa norme $\ell^1$ existe.

$\int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|dt} = \| h \|_{1} < \infty$

[modifier] Condition nécessaire et suffisante en temps discret

En temps discret, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. que sa norme $\ell^1$ existe.

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} < \infty$

[modifier] Démonstration

[modifier] démonstration de la condition nécessaire

Prenons tout simplement $x(t)=\operatorname{signe}(h(-t))$

Alors $y(0)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)x(-t)dt=\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt$

Or y(0) doit être borné, donc $\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt$ l'est aussi.

[modifier] démonstration de la condition suffisante

Étant donné un système linéaire invariant (SLI) avec une réponse impulsionnelle $h(n)\$ la relation entre l'entrée $x(n)\$ et la sortie $y(n)\$ est

$y(n) = h(n) * x(n)\$

où $*$ est une produit de convolution. Alors en raison de la définition de la convolution, il vient :

$y(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(k) x(n-k)}$

En notant $\| x \|_{\infty}$ la valeur maximale de $x(n)\$ , i.e. sa norme infinie.

$\left|y(n)\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(n-k) x(k)}\right| \le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right| \left|x(k)\right|}$ (par l'inégalité triangulaire)

$\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right| \| x \|_{\infty}}= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right|}$

$= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(k)\right|}$

Si $h(n)\$ stable EBSB, alors $\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(k)\right|} = \| h \|_1 < \infty$ et

$\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(k)\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1$

Donc si $\| x \|_{\infty} < \infty$ (i.e. il est borné) alors $\left|y(n)\right|$ est également borné parce que $\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty$ .

La démonstration en temps continu suit les mêmes arguments.

[modifier] Condition dans le domaine fréquentiel

[modifier] Signal continu

Soit un système à temps continu causal à fonction de transfert rationnelle. Le domaine de convergence de sa transformée de Laplace est l'ouvert à la droite de la ligne verticale dont l'abscisse est la partie réelle du plus grand pôle. (plus grand signifie ici que la partie réelle du plus grand pôle est plus grande que la partie réelle de n'importe quel autre pôle du système). Autrement dit :

$H(p)=\int_0^\infty h(t)e^{-pt}dt \mbox{ pour } \operatorname{Re}(p)>\sigma$

$\sigma\$ est appelé abscisse de convergence.

Prenons cette relation en zero :

$|H(0)|=\left|\int_0^\infty h(t)dt\right| \le \int_0^\infty |h(t)dt|$

La condition dans le domaine temporel impose que cette dernière intégrale soit bornée, c’est-à-dire que H(0) existe. Par conséquent, 0 est dans le domaine de convergence de H(p), ce qui signifie encore que $\sigma\$ est strictement négatif.

Par conséquence, un SLI discret continu à fonction de transfert rationnelle est stable EBSB si et seulement si tous les pôles se situent dans la partie gauche du plan complexe, c’est-à-dire à partie réelle strictement négative.

[modifier] Signal discret

Soit un système à temps discret causal à fonction de transfert rationnelle. Le domaine de convergence de sa transformée en Z est l'ouvert à l'extérieur du cercle dont le rayon est le module du pôle de plus grand module. Autrement dit :

$H(z)=\sum_{k=0}^\infty h(k)z^{-k} \mbox{ pour } |z|>z_0\$

Prenons cette relation en z=1 :

$|H(1)|=\left|\sum_{k=0}^\infty h(z)\right| \le \sum_{k=0}^\infty |h(z)|$

La condition dans le domaine temporel impose que cette dernière somme soit bornée, c’est-à-dire que H(1) existe. Par conséquent, 1 est dans le domaine de convergence de H(z), ce qui signifie encore que $z_0\$ est strictement inférieur à 1.

Par conséquence, un SLI discret causal à fonction de transfert rationnelle est stable EBSB si et seulement si tous les pôles sont inclus dans le cercle unité du plan complexe, c’est-à-dire de module strictement inférieur à 1.

[modifier] Critères de Stabilité

Pour déterminer si un système physique représenté par un schéma-bloc est stable ou non, on peut utiliser plusieurs méthodes ou plusieurs critères. Il existe 2 types de critères : les critères numériques (comme celui de Routh par exemple) ou les critères graphiques (comme le critère du Revers ou le critère de Nyquist). Ces critères permettent uniquement de déterminer si le système est stable ou non mais ils n'indiquent pas le degré de stabilité (c'est-à-dire si le système est plus ou moins stable). Pour apprécier ce fameux dégré de stabilité, on est amené à utiliser d'autres outils tels que les marges de phase et les marges de gain ou le facteur de résonance par exemple.

lien pour l'explication du critère de Routh : Polynôme de Hurwitz