Système invariant

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Un système invariant par décalage temporel est un système dont la sortie ne dépend pas explicitement du temps.

[modifier] Définition

Si le signal d'entrée $x(t)\$ produit une sortie $y(t)\,$ , alors quelque soit l'entrée décalée temporellement $x(t + \delta)\$ , la sortie est elle aussi décalée $y(t + \delta)\$ .

Cette propriété peut être satisfaite (mais pas nécessairement) si la fonction de transfert du système n'est pas une fonction du temps, si ce n'est dans l'expression de l'entrée et de la sortie.

Définition équivalente : Si le système est invariant, alors le bloc du système est commutatif avec un bloc délai arbitraire.

[modifier] Exemples

[modifier] Exemple basique

Pour savoir comment déterminer si un système est invariant, considérons les deux systèmes :

Système A: $y(t) = t\, x(t)$
Système B: $\,\!b(t) = 10 x(t)$

Comme le système A dépend explicitement du temps t en dehors de $x(t)\,$ et $y(t)\,$ , alors le système n'est pas invariant. Le système B, lui, ne dépend pas explicitement du temps t et est donc invariant.

[modifier] Exemple formel

Une preuve plus formelle de l'invariance (ou non) des systèmes A et B ci dessus est présentée ici. Pour effectuer cette preuve, la seconde définition va être utilisée.

Système A :

A partir de l'entrée avec un décalage $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)$

Maintenant retardons la sortie par

δ

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)$

Clairement $y_1(t) \,\!\ne y_2(t)$ , c'est pourquoi le système n'est pas invariant.

Système B :

A partir de l'entrée avec un décalage $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = 10 \, x_d(t)$

$y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)$

Maintenant retardons la sortie par $\,\!\delta$

$y(t) = 10 \,x_d(t)$

$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)$

Clairement $y_1(t) = \,\!y_2(t)$ , c'est pourquoi le système est invariant

[modifier] Exemple abstrait

Notons l'opérateur retard par $\mathbb{T}_r$ où $r$ est la quantité par laquelle le paramètre vectoriel doit être retardé. Par exemple, le système "avance de 1" :

$x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)$

peut être représenté par la notation abstraite :

$\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}$

où $\tilde{x}$ est la fonction donnée par

$\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

le système produisant la sortie décalée

$\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

Donc $\mathbb{T}_1$ est un opérateur qui avance l'entrée vectorielle de 1.

Supposons que nous représentions le système par un opérateur $\mathbb{H}$ . Ce système est invariant s'il commute avec l'opérateur retard, c’est-à-dire :

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \,\, \forall \, r$

Si l'équation du système est donnée par :

$\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}$

Alors c'est un système invariant si on peut appliquer l'opérateur $\mathbb{H}$ sur $\tilde{x}$ suivi de l'opérateur retard $\mathbb{T}_r$ , ou appliquer l'opérateur retard $\mathbb{T}_r$ suivi de l'opérateur du système $\mathbb{H}$ , les 2 calculs produisant un résultat équivalent.

Appliquons l'opérateur du système en premier :

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r$