Réponse impulsionnelle

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La réponse impulsionnelle d'un système est la sortie du système lorsque l'entrée est une impulsion.

Sommaire

[modifier] Définition mathématique

Mathématiquement, cette impulsion est modélisée par une impulsion de Dirac. La réponse impulsionnelle est alors la sortie du système en réponse à cette impulsion.

[modifier] Réponse impulsionnelle d'un système linéaire invariant (SLI)

[modifier] Caractérisation d'un SLI par sa réponse impulsionnelle

Soit T la représentation mathématique d'un système discret (et non le système lui même), c’est-à-dire qu'avec une entrée {x[n]} il produit une sortie {y[n]} suivant la relation :

\{y\left[ n\right]\} =T\left[ \{x\left[ n\right]\} \right]

T est donc un opérateur qui travaille sur une suite et produit une autre suite.

Supposons de plus que T soit linéaire et invariant par translation temporelle. Alors toute sortie de ce système peut être calculée à partir de l'entrée et de la réponse impulsionnelle qui caractérise entièrement le système à partir de la relation :

y\left[ n\right] =\sum_{k}h\left[ n-k\right] x\left[ k\right] =\sum_{k}h\left[ k\right] x\left[ n-k\right]

Dans le cas continu, cette expression devient :

y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) x(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) d\tau\,

[modifier] Preuve (Cas discret)

Tout d'abord, appelons {h[k]} la sortie correspondant à l'entrée impulsion {δ[k]}

Remarquons ensuite qu'une entrée {x[k]} est une suite d'impulsion discrète décalées dans le temps. Comme le système est invariant, le décalage des impulsions produit simplement une sortie elle aussi décalée (voir système invariant). De plus, la linéarité du système permet d'obtenir la sortie {y[n]} en calculant séparement la réponse à chacune de ses impulsions puis en les additionnant.

Calculons maintenant la contribution à l'instant n de l'impulsion décalée de k0 : pour une entrée \left\{ x[k_0] \delta [k-k_0] \right\} , la sortie vaut à l'instant n, x[k_0] h[n-k_0]\ .

La réponse totale s'obtient en sommant les contributions de toutes les impulsions décalées :

y\left[ n\right] =\sum_{k}x\left[ k\right] h\left[ n-k\right]

On remarque qu'il s'agit d'un produit de convolution. Or il est commutatif. Nous avons donc finalement :

y\left[ n\right] =\sum_{k}x\left[ n-k\right] h\left[ k\right]

La suite h\left[ n\right] est la réponse impulsionnelle du système représenté par T. Comme vous pouvez le constater, h[n] est la sortie du système quand l'entrée est une impulsion de Dirac discrète. Des résultats similaires existent pour les systèmes continus.

[modifier] Relation avec la fonction de transfert d'un SLI

La transformée de Laplace (respectivement la transformée en Z) de la réponse impulsionnelle h(t)\ (respectivement h\left[ n\right]) d'un système linéaire invariant (SLI) continu (respectivement discret) est égal à la fonction de transfert H(p)\ (respectivement H(z)\ ) de ce système.

Pour démontrer cela, il suffit d'appliquer les transformées à la relation y\left[ n\right] =\sum_{k}x\left[ n-k\right] h\left[ k\right] en se souvenant qu'un produit de convolution devient un produit dans le domaine fréquentiel.

[modifier] Voir aussi