Intégrale impropre

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L'intégrale impropre désigne une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales. On note en général les intégrales impropres sans les distinguer des véritables intégrales ou intégrales définies, ainsi

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$

est un exemple très classique d'intégrale impropre convergente, mais qui n'est pas définie au sens de l'intégration usuelle (que ce soit l'intégration des fonctions continues par morceaux, l'intégrale de Riemann, ou celle de Lebesgue).

Dans la pratique, on est amené à faire une étude de convergence d'intégrale impropre

lorsqu'on intègre jusqu'à une borne infinie,
lorsqu'on intègre jusqu'à une borne en laquelle la fonction n'admet pas de limite finie,
lorsqu'on englobe un point de non définition dans l'intervalle d'intégration.

Dans chaque cas, on évaluera l'intégrale définie comme une fonction d'une des deux bornes et on prendra la limite de la fonction obtenue lorsque l'argument tend vers la valeur de la borne.

L'intégrale impropre partage un certain nombre de propriétés élémentaires avec l'intégrale définie. Elle ne permet pas d'écrire des résultats d'interversion limite-intégrale avec les théorémes d'intervertion de convergence uniforme. Par contre, il existe un théorème d'intervertion limite-somme adapté aux intégrales impropres : c'est le Théorème de convergence dominée.

Sommaire

1 Intégrale impropre pour les fonctions continues

[modifier] Intégrale impropre pour les fonctions continues

[modifier] Définition

[modifier] 1. Définition de la convergence d'une intégrale impropre

Soit $f :\ [a, b[ \ \longrightarrow \ \mathbb{R}$ une fonction continue.

Si la limite $\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)dt$ existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de $f$ sur $[a, b [$ .

De la même manière, soit $f :\ ]a, b] \ \longrightarrow \ \mathbb{R}$ une fonction continue.

Si la limite $\lim_{x \rightarrow a^{+}} \int_x^b f(t)dt$ existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de $f$ sur $] a, b]$ .

Dans les deux cas on peut noter cette limite de la manière suivante :

$\int_a^b f(t) dt$

Si la limite existe et est finie on dit que $\int_a^b f(t) dt$ converge, sinon on dit qu'elle diverge.

Remarque : il existe une autre notation parfois utilisée dans certains livres de maths qui permet d'expliciter encore plus facilement le caractère impropre de l'intégrale.

Ainsi $\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)dt$ peut s'écrire $\int_{a}^{->b} f(t)dt$ et de la même manière, $\lim_{x \rightarrow a^{+}} \int_x^b f(t)dt$ peut s'écrire $\int_{->a}^{b} f(t)dt$

Compatibilité avec l'intégrale définie : si f est en fait continue sur le segment [a,b], on obtient par ces définitions la même valeur que si on calculait l'intégrale définie de f.

[modifier] 2. Définition de l'intégrabilité d'une fonction f

Soit I un intervalle quelconque et $f :\ I \ \longrightarrow \ \mathbb{R}$ continue par morceaux sur I.
On dit que f est intégrable sur I si f est absolument convergente sur I cad que l'intégrale sur I de la valeur absolue de f est convergente.

Une intégrale impropre convergente mais non absolument convergente est appelée : intégrale semi-convergente.

[modifier] Relation de Chasles

Soit $f :\ [a, b[ \ \longrightarrow \ \mathbb{R}$ une fonction continue.

Alors $\forall (x, c) \in [a, b[^2$

$\int_a^x f(t) dt \ =\ \int_a^c f(t) dt + \int_c^x f(t) dt$

$\lim_{x \rightarrow b} \int_c^x f(t) dt\$ et $\ \lim_{x \rightarrow b} \int_a^x f(t) dt$ sont de même nature

De plus, si $\exists c \in [a, b[$ tel que $\int_c^b f(t) dt$ converge

Alors $\forall d \in [a, b[, \int_d^b f(t) dt$ converge

et $\int_c^b f(t) dt\ =\ \int_c^d f(t) dt\ +\ \int_d^b f(t) dt$

[modifier] Intégrale impropre bilatère

Soit $f :\ ]a, b[\ \longrightarrow\ \mathbb{R}$ continue sur $] a, b [$

Soit $c \in ]a, b[$ fixé

La relation de Chasles nous dit que

Si $\int_c^b f(t) dt$ converge

Alors $\forall d \in ]a, b[, \int_d^b f(t) dt$ converge et

$\int_c^b f(t) dt\ =\ \int_c^d f(t) dt\ +\ \int_d^b f(t) dt$

Si $\int_a^c f(t) dt$ converge

Alors $\forall d \in ]a, b[, \int_a^d f(t) dt$ converge et

$\int_a^c f(t) dt\ =\ \int_a^d f(t) dt\ +\ \int_d^c f(t) dt$

Quand ces deux conditions sont vérifiées, on appelle intégrale impropre de $f$ sur $] a, b [$ la somme

$\int_a^b f(t) dt\ =\ \int_a^d f(t) dt\ +\ \int_d^b f(t) dt$

[modifier] Autres propriétés

[modifier] 1. Intégration par parties

L'intégration par partie est une technique, parmi tant d'autres, permettant de calculer une intégrale (cf Intégration par parties). La formule générale est : $\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$

Pour les intégrales impropres, cette technique peut être également utilisée. Mais il faut faire attention à la définition des "objets obtenus".
Si $\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx$ existe, ce n'est pas forcément le cas pour $\left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b}$ ou pour $\int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$

Donc si on cherche à calculer par exemple l'intégrale $\int_{a}^{->b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx$ , on peut écrire :

$\int_{a}^{X} f(x) g'(x)\,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{X} - \int_{a}^{X} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$
avec $a < X < b$ puis on effectue un passage à la limite en faisant tendre X vers b. On observe alors que si les termes $\left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{->b}$ et $\int_{a}^{->b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$ sont définis, l'intégration par parties est possible.

[modifier] 2. Linéarité des intégrales impropres

La linéarité des intégrales impropres est possible mais requiert la même condition que pour l'intégration par parties : les "objets obtenus" doivent être définis!

Ainsi on peut écrire : $\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x^2}-exp(-x))dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx - \int_{1}^{\infty} exp(-x)dx$ car les intégrales $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$ et $\int_{1}^{\infty} exp(-x)dx$ sont convergentes.

Mais par contre, l'intégrale $\int_{1}^{\infty} (arcsin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x})dx$ ne peut être scindée car les intégrales $\int_{1}^{\infty} arcsin(\frac{1}{x})dx$ et $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}dx$ sont divergentes.

[modifier] Techniques pour établir la convergence d'une intégrale impropre

[modifier] 1. Calcul par passage à la limite

Pour calculer une intégrale du type $\int_{a}^{->b} f(x)\,\mathrm dx$ , on choisit X tq a<X<b.
On calcule ensuite l'intégrale $\int_{a}^{X} f(x)\,\mathrm dx$ comme une intégrale classique. Enfin on effectue un passage à la limite pour faire tendre X vers b ce qui nous amène au résultat.

Exemple : $\int_{0}^{\infty} exp(-x)\,\mathrm dx$

$\int_{0}^{X} exp(-x)\,\mathrm dx = \left[ -exp(-x) \right]_{0}^{X} = 1 - exp(-X)$
Par passage à la limite, on obtient : $\int_{0}^{\infty} exp(-x)\,\mathrm dx = 1$

[modifier] 2. Majoration

Soit I un intervalle. On cherche à montrer que $\int_I f(x)\,\mathrm dx$ est convergente. Si on arrive à trouver une fonction g(x) tq pour tout x dans I, |f(x)|≤ g(x) et que $\int_I g(x)\,\mathrm dx$ est convergente, alors $\int_I f(x)\,\mathrm dx$ est convergente.

Exemple : $\int_{0}^{\infty} exp(-x^2)\,\mathrm dx$ (intégrale de la gaussienne)

On a : pour tout x ≥ 0, $| e x p ( - x 2) |$ ≤ $e x p ( - x)$ et $\int_{0}^{\infty} exp(-x)\,\mathrm dx$ est convergente.
Donc $\int_{0}^{\infty} exp(-x^2)\,\mathrm dx$ est convergente.

[modifier] 3. Equivalence

On considère les intégrales impropres suivantes : $\int_{a}^{->b} f(x)\,\mathrm dx$ et $\int_{a}^{->b} g(x)\,\mathrm dx$
Si f(x) et g(x) sont équivalentes en b, alors les 2 intégrales ci-dessus sont de même nature.

Exemple : $\int_{1}^{\infty} (arcsin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x})dx$

Pour trouver l'équivalence de $arcsin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}$ en $+\infty$ , il faut effectuer un Développement limité en 0 pour la variable $\frac{1}{x}$ (ce qui équivaut à un DL en $+\infty$ pour la variable x)
Au voisinage de $+\infty$ , on a : $arcsin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x} = \frac{1}{x}+\frac{1}{6x^3}-\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x^3}) = \frac{1}{6x^3}+o(\frac{1}{x^3})$
Donc $arcsin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}$ équivaut en $+\infty$ à $\frac{1}{6x^3}$

Par un simple calcul, on observe rapidement que $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{6x^3}\,\mathrm dx$ est convergente. Donc $\int_{1}^{\infty} (arcsin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x})dx$ est convergente.

[modifier] 4. Petit o (négligeabilité)

On considère les intégrales impropres suivantes : $\int_{a}^{->b} f(x)\,\mathrm dx$ et $\int_{a}^{->b} g(x)\,\mathrm dx$
Si f(x)=o(g(x)) (f(x) négligeable devant g(x)) au voisinage de b et si $\int_{a}^{->b} g(x)\,\mathrm dx$ est convergente, alors $\int_{a}^{->b} f(x)\,\mathrm dx$ est convergente.

Exemple : $\int_{0}^{+\infty} t.exp(-t)\,\mathrm dt$

On a : $exp(-t) = o(\frac{1}{t^3})$ donc $t.exp(-t) = o(\frac{1}{t^2})$ .
Or $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{t^2} \,\mathrm dt$ est convergente donc $\int_{0}^{+\infty} t.exp(-t)\,\mathrm dt$ est convergente.

[modifier] 5. Exemples classiques

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x^\alpha})dx$ converge ssi $α < 1$

$\int_{1}^{+\infty} (\frac{1}{x^\alpha})dx$ converge ssi $α > 1$

Intégrale de Bertrand : $\int_{2}^{+\infty} (\frac{1}{x^\alpha.ln(x)^\beta})dx$ converge ssi $α > 1$ ou $(α = 1$ et $β > 1)$

L'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ est semi-convergente:

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ est convergente.

Démonstration

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \int_0^{1} \frac{\sin t}{t} dt + \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$

Or $\frac{\sin t}{t}$ équivaut à 1 en 0. Donc $\int_0^{1} \frac{\sin t}{t} dt$ est convergente.

Montrons donc que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ est convergente.
IPP : $\int_1^{X} \frac{\sin t}{t} dt = \left[ \frac{-\cos t}{t}\right]_{1}^{X} - \int_{1}^{X} \frac{\cos t}{t^2} \,\mathrm dt$

On effectue un passage à la limite :
$\left[ \frac{-\cos t}{t}\right]_{1}^{+\infty}$ est convergent.

$|\frac{\cos t}{t^2}|$ ≤ $\frac{1}{t^2}$ pour tout t ≥ 1 donc $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2} \,\mathrm dt$ est convergente.
Ce qui montre que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ est convergente.

$\int_0^{+\infty} |\frac{\sin t}{t}| dt$ est divergente.

Démonstration

Supposons que $\int_0^{+\infty} |\frac{\sin t}{t}| dt$ soit convergente.
L'intégrale $\int_0^{1} |\frac{\sin t}{t}| dt$ étant clairement convergente, on va s'interesser à "l'autre morceau", cad $\int_1^{+\infty} |\frac{\sin t}{t}| dt$
On a : $\frac{\sin^2 t}{t}$ ≤ $|\frac{\sin t}{t}|$
Or $\int_1^{X} \frac{\sin^2 t}{t} dt = \frac{1}{2}\int_1^{X} \frac{1}{t} dt - \frac{1}{2}\int_1^{X} \frac{cos 2t}{t} dt$ .
On sait que $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t} dt$ diverge et $\int_1^{+\infty} \frac{cos 2t}{t} dt$ converge (convergence obtenue par IPP, on obtient une intégrale en $\frac{\sin 2t}{2t^2}$ )
On a donc $\int_1^{+\infty} \frac{sin^2 t}{t} dt$ divergente.
Par l'absurde, on obtient que $\int_0^{+\infty} |\frac{\sin t}{t}| dt$ est divergente.

$I_n = \int_0^{+\infty} t^n.exp(-t) dt$ est convergente pour tout n entier ≥ 0.

On a le résultat : $I n = n!$

Démonstration

IPP : $I_n = \int_0^{+\infty} t^n.exp(-t) dt = \left[t^n.exp(-t) \right]_{0}^{+\infty} + n.\int_{0}^{+\infty} t^{n-1}.exp(-t) \,\mathrm dt = n.I_{n-1}$
Donc $I n = n . I n - 1$
Puis $I n = n . I n - 1 = n .(n - 1). I n - 2 ... e t c$

Donc $I n = n!. I 0 = n!$ (car $I 0 = 1$ )