Série de Riemann
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Pour α complexe, on appelle série de Riemann la série suivante :
La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1:
Sommaire |
[modifier] Proposition
- Une série de Riemann converge absolument si et seulement si .
- Une série de Riemann converge si et seulement si (même condition que précédemment).
Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.
[modifier] Remarques
On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair (supérieur ou égal à 2). Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :
- , où r est un rationnel.
- Ainsi par exemple
En revanche on ne sait rien du tout concernant les autres valeurs prises selon α hormis que pour α = 3, la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1979).
[modifier] Fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann ζ est définie pour tout nombre complexe s de partie réelle par la série convergente :
Il s'agit d'une fonction méromorphe.
[modifier] Généralisations
- Les séries de Bertrand, de la forme
.
- Les séries de Dirichlet, de la forme
- .
- Les séries de Riemann multiples, de la forme
Il y a convergence si et seulement si