Somme de Riemann

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Sommaire

1 Définition
2 Application
3 Extensions
4 Cas particulier
5 Voir aussi

[modifier] Définition

Soit $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue sur le segment $[a, b]$ . On considère $n\in\mathbb{N}^*$ et une subdivision régulière $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$ , avec $0\leq k\leq n$ .

La somme de Riemann associée à $f$ est alors :

$S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)$

[modifier] Application

Les sommes de Riemann sont utilisées pour le calcul des intégrales par la méthode des rectangles. En effet :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt$

Démonstration

Par définition de l'intégrale, on a : $(x_k-x_{k-1})f(x_k)=\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)dt$ d'où $(x_k-x_{k-1})f(x_k)-\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t).dt=\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt$

En sommant pour $k\in\{1,\cdots,n\}$ , on obtient : $S_n-\int_a^bf(t)dt=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt$ d'où $|S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}|f(x_k)-f(t)|dt$

Soit $ε > 0$ . Par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur le segment $[a, b]$ , il existe donc $α > 0$ tel que $\forall(x,t)\in[a,b]^2|x-t|\leq\alpha\Rightarrow |f(x)-f(t)|\leq\frac{\epsilon}{b-a}$ .

On considère la relation pour $n$ assez grand, de sorte que $\frac{b-a}{n}\leq\alpha$ . Ainsi $\forall t \in[x_{k-1};x_k] |x_k-t|\leq \frac{b-a}{n}\leq \alpha$ , d'où $|S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \int_a^b\frac{\epsilon}{b-a}=\epsilon$ .

[modifier] Extensions

On peut considérer $S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^nf(x_k)$ car $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-a}{n}f(x_0)=0$ (une seule valeur ne change pas le résultat).
On peut aussi étendre la propriété précédente aux cas de subdivisions $\sigma=(x_0,x_1,\cdots,x_n)$ quelconques. Dans ce cas, on note $S_\sigma=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(\theta_k)$ où $\theta_k\in[x_{k-1},x_k]$ . On note $\Delta(\sigma)=\max_{1\leq k\leq n}(x_k-x_{k-1})$ le pas de la subdivision. Donc, avec les notations précédentes, si $\Delta(\sigma)\leq\alpha$ , alors : $|S_\sigma-\int_a^bf(t)dt|\leq\epsilon$

[modifier] Cas particulier

$\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\int_a^bf(x)dx$