Série de Dirichlet

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En mathématiques, une série de Dirichlet, un des nombreux concepts nommés en l'honneur du mathématicien allemand Dirichlet, est une série dont le terme général est de la forme $\frac{a_n}{n^s}$ , pour des coefficients a_n complexes. Quand elle existe, on définit la fonction somme de cette série

$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}.$

La plus célèbre des fonctions sommes de séries de Dirichlet est la fonction zêta de Riemann

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$

Suivant la suite de coefficients a_n que l'on s'est donnée au départ, la série converge sur un domaine plus ou moins grand. Si la suite des coefficients a des propriétés arithmétiques intéressantes, la série aura elle aussi des propriétés remarquables.

On connaît des méthodes pour écrire la fonction somme d'une série de Dirichlet sous forme intégrale, qui permettent parfois d'obtenir un prolongement analytique de la fonction même là où la série ne converge pas.

Sommaire

1 Exemples de décompositions en séries de Dirichlet
2 Propriétés analytiques des séries de Dirichlet
- 2.1 Abscisses de convergence
- 2.2 Propriétés de la fonction somme
3 Historique

[modifier] Exemples de décompositions en séries de Dirichlet

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

où $\mu(n)\,$ est la fonction de Möbius,

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

où $\varphi(n)\,$ est l'indicatrice d'Euler, et

$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}$

où $\sigma_a(n)\,$ est la fonction diviseur

[modifier] Propriétés analytiques des séries de Dirichlet

Soit une suite ${a_n}_{(n \in \mathbb{N})}\,$ de nombres complexes, nous essayons d'examiner la valeur de

$f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$

comme une fonction de la variable complexe s. Pour que cela prenne un sens, nous avons besoin d'examiner les propriétés de convergence de la série ci-dessus.

[modifier] Abscisses de convergence

On peut considérer le domaine de convergence D_C de la série, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de s pour lesquelles il y a convergence.

On peut prouver, à l'aide du lemme d'Abel que s'il y a convergence pour un complexe s, tous les complexes ayant une partie réelle strictement plus grande seront eux aussi dans le domaine de convergence.

Il faut donc faire intervenir le nombre suivant

$A_c=\inf \{s\in \mathbb{R}, \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^s}\hbox{ converge }\}$

appelé abscisse de convergence de la série (valant éventuellement plus ou moins l'infini). Pour tout complexe dont la partie réelle est strictement supérieure à A_c, il y a convergence. Pour tout complexe dont la partie réelle est strictement inférieure à A_c, il y a divergence.

De même il y a un domaine de convergence absolue D_AC et une abscisse de convergence absolue A_ac. Les deux abscisses sont liées par les inégalités

$A_c\leq A_{ac}\leq A_c+1$

Voici deux exemples de résultats sur les abscisses de convergence et de convergence absolue :

Supposons que ${a_n}_{(n \in \mathbb{N})}\,$ soit une suite bornée de nombres complexes. Alors la série est absolument convergente sur le demi-plan ouvert de s tel que Re(s) > 1.

Si l'ensemble des sommes $a_n + a_{n + 1} + \ldots + a_{n + k}\,$ est borné pour n et k ≥ 0, alors la série converge sur le demi-plan ouvert de s tel que Re(s) > 0.

[modifier] Propriétés de la fonction somme

Théorème : la fonction f est une fonction analytique sur le demi-plan ouvert de convergence.

Dans beaucoup de cas, la fonction analytique associée à une série de Dirichlet possède un prolongement analytique sur un domaine plus large. Ceci est le cas pour la fonction zêta :

Théorème. La fonction zêta possède un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}\$ avec un unique pôle à s=1.