Revêtement (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant la topologie.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, un revêtement d'un espace topologique X par un espace topologique C est une application continue et surjective p : C → X telle que tout point x\in X admette un voisinage ouvert U tel que l'image réciproque de U par p soit une union disjointe d'ouverts de C, chacun homéomorphe à U par p.

Il s'agit d'un cas particulier de fibration, à fibre discrète.

Sommaire

[modifier] Exemples

[modifier] Revêtement du cercle par une hélice

Soit S1 le cercle dans le plan \mathbb{R}^2=\mathbb{C}. La droite réelle \mathbb{R} est alors un revêtement défini par l'application :

p : \mathbb{R} \to S^1, \quad p(t)=(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))=e^{2i\pi t}.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable (p^{-1}(p(x))=x+\mathbb{Z}).

La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore : \mathbb{R}^n\to \mathbb{T}^n=\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1\times\ldots\times\mathbb{S}^1\subset \mathbb{R}^{2n}

La fibre est dénombrable : (p^{-1}(0)=\mathbb{Z}^n).

[modifier] Les fonctions puissances

L'application du plan complexe privé de l'origine \mathbb{C}^*

p : \mathbb{C}^*\to \mathbb{C}^*, \quad p(z)=z^n définit un revêtement.

Chaque fibre est ici finie et a n élements.

[modifier] L'application exponentielle

L'application du plan complexe \mathbb{C}

p : \mathbb{C}\to \mathbb{C}^*, \quad p(z)=e^z définit un revêtement.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable (p^{-1}(p(x))=x+2i\pi\mathbb{Z}).

[modifier] La bande de Möbius

Icône de détail Article détaillé : Ruban de Möbius.

La bande \mathbb{S}^1\times [0; 1] est un revêtement de la bande de Möbius.

[modifier] Revêtement de l'espace projectif

Pour n>1, l'application canonique \mathbb{S}^n\to\mathbb{RP}^n est un revêtement de l'espace projectif (réel), la fibre a deux éléments.

[modifier] Constructions de revêtements et terminologie

[modifier] Espaces au dessus de B

Un espace au dessus d'un espace topologique B est un espace X muni d'une application continue \pi : X\mapsto B appelée projection. B est appelé la base. Pour tout point b\in B, on appelle fibre de X au dessus du point b et on note X(b) le sous espace \pi^{-1}(b)\subset X. On appelle section (continue) de X une application continue \sigma : B\to X telle que \pi\circ\sigma = Id_B.

Théorème : Soit p un homéomorphisme local dont toutes les fibres sont finies de même cardinal n, alors p est un revêtement fini.

[modifier] Produit fibré, Somme directe, Changement de base

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Soit X, Y et Z trois espaces topologiques, \varphi un morphisme (application continue) de X dans Z et ψ de Y dans Z. On appelle produit fibré de X et Y par rapport à Z, noté X \otimes _ Z Y, un espace topologique, X \otimes _ Z Y, un morphisme, pX, de ce produit dans X et pY de ce produit dans Y tels que pour tout espace topologique, A et deux morphismes, f (de A dans X) et g (de A dans Y) tels que \varphi \circ f = \psi \circ g, alors il existe un morphisme, pA de A dans le produit, tel que p _ X \circ p _ A = f et p _ Y \circ p _ A = g.

Icône de détail Article détaillé : Produit fibré.

[modifier] Groupes discrets opérant proprement et librement

Soit G un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace localement compact E, la projection E\to E/G définit un revêtement de fibre G.

En particulier, si Γ est un sous-groupe discret du groupe topologique G, la projection G\to G/\Gamma est un revêtement de fibre Γ.

[modifier] Construction de revêtements par recollement

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

[modifier] Théorie des revêtements

[modifier] Morphismes et transformations de revêtements

Un morphisme d'espaces au dessus de B est une application X\to X' qui commute avec les projections π et π'.

[modifier] Monodromie des lacets et relèvement des applications

Le groupe fondamental π1(X,x) opère par une action de groupe à droite sur la fibre π − 1(x).

[modifier] Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement

Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point.

[modifier] Revêtements universels

Un revêtement universel d'un espace B est un revêtement galoisien E tel que tout revêtement soit isomorphe à un revêtement associé à E (non nécessairement connexe). C’est-à-dire que pour tout revêtement D de B, il existe un morphisme de E sur D. Deux revêtements universels sont isomorphes.

Théorème : Un revêtement simplement connexe E est un revêtement universel.

Théorème : Un espace (connexe par arcs) B admet un revêtement simplement connexe si et seulement s'il est semi-localement simplement connexe.

[modifier] Classification des revêtements et théorie de Galois

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

[modifier] Applications

[modifier] Graphes et groupes libres

Théorème : Tout sous-groupe d'un groupe libre est un groupe libre.

[modifier] théorème de Van Kampen

Icône de détail Article détaillé : théorème de Van Kampen.

[modifier] Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

[modifier] Revêtements des groupes topologiques

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

[modifier] Bibliographie (en français)