Groupe libre

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Le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application ensembliste f de S dans G, il existe un unique morphisme de groupe de F dans G prolongeant f.

Soit encore, un groupe G est dit libre s'il existe un sous-ensemble S de G tel que chaque élément de G puisse être écrit d'une unique façon sous la forme d'un produit d'un nombre fini d'éléments de S et de leur inverse. Un tel groupe est unique à isomorphisme près ce qui jusitifie le qualificatif le dans la définition. En général, on le notera FS ou L(S). Intuitivement, FS est le groupe engendré par S sans relation entre les éléments de S.

Attention : cette notion diffère de celle de groupe abélien libre.

Sommaire

[modifier] Histoire

Walther von Dyck étudie en 1882 le concept de groupe libre, sans y donner de nom, dans son article Gruppentheoretishe Sudien (Etude de la théorie des groupes) publié dans Mathematische Annalen (annales mathématiques). Le terme de groupe libre a été introduit par Jakob Nielsen en 1924.

[modifier] Construction

Introduisons un ensemble S' équipotent à S et disjoint de S. Il existe alors une bijection S\rightarrow S'. Pour chaque élément s de S, on note s' l'élément correspondant dans S'.

Notons M l'ensemble des mots sur la réunion de S et de S', c'est-à-dire les chaînes finies de caractères constituées d'éléments de S et de S'. Deux telles chaînes seront dites équivalentes si on peut passer de l'une à l'autre en enlevant ou en rajoutant des chaînes de la forme ss' ou s's. Ceci définit une relation d'équivalence sur M. On définit L(S) comme l'ensemble des classes d'équivalence.

La concaténation de deux mots définit une loi sur M préservée par l'équivalence. Par passage au quotient, on obtient un loi de groupe sur L(S). L'élément neutre est la classe du mot vide, et l'inverse de s_1s_2\dots s_n est s_n'\dots s_2's_1'.

Vérification de la propriété universelle : Si G est un groupe, et f:S\rightarrow G est une application ensembliste, f se prolonge en une application ensembliste g:M\rightarrow G par :

g\left[s_1\dots s_n\right]=g(s_1)\dots g(s_n)

Cette application g est constante sur les classes d'équivalence, et induit donc une application g:L(S)\rightarrow G. Cette application g prolonge f et est un morphisme de groupes.

[modifier] Premières propriétés

  • Si S et T ont même cardinal, alors FS et FT sont isomorphes. En effet, une bijection entre S et T donne lieu à des morphismes de FS dans FT et de FT dans FS, morphismes qui sont réciproques l'un de l'autre.
  • Soit G un groupe, et soit S un système générateur de G. Alors G est un quotient du groupe libre FS sur S. En particulier, n'importe quel groupe est le quotient d'un groupe libre.

[modifier] Exemples

  • Le groupe libre sur l'ensemble vide est le groupe trivial, et le groupe libre sur un singleton est isomorphe à \Z. Ce sont les deux seuls groupes libres commutatifs.
  • Soit n un entier naturel. Le groupe fondamental du plan privé de n points est un groupe libre sur un ensemble de cardinal n.

[modifier] Sous-groupes d'un groupe libre

Les sous-groupes d'un groupe libre sont libres. La démonstration de ce résultat n'est pas immédiate[1]. Un sous-groupe libre admettant un système fini de générateurs a des sous-groupes de n'admettant aucun système fini de générateurs.

[modifier] Référence

  1. ↑ Voir le livre de Hall.