Discuter:Représentations d'un groupe fini

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Sommaire 1 Création de l'article 2 Produit scalaire 3 Premières reflexions en vrac pour une synthèse 3.1 difficultés à surmonter 3.2 Eléments de solutions 4 Début de refonte 4.1 Un peu d'histoire 4.2 Une vision synthétique de la théorie 4.3 Applications 4.4 Vers un autre article

[modifier] Création de l'article

La représentation des groupes finis est un vaste sujet qui mérite au moins une demi-douzaine d'articles pour être convenablement traitée.

Il aurait peut être été plus naturel de commencer par enrichir l'article plus général sur la représentation des groupes, cependant ma vision (essentiellement celle de Serre, reprise en France dans beaucoup d'université de mathématiques) semble peu compatible avec celle d'un autre contributeur. Ce qui explique la création plus rapide de cet article. Il sera temps, quand représentation des groupes aura été enrichi, d'uniformiser les deux articles. Jean-Luc W 7 mars 2007 à 12:11 (CET)

[modifier] Produit scalaire

Dans le cas d'un corps de caractéristique première avec l'ordre du groupe, la démonstration de l'existence d'un produit scalaire compatible est plus technique que je ne l'imaginais. Je laisse donc le paragraphe en plan et utilise l'existence d'un supplémentaire dans le cas d'un sous-espace stable pour démonter le Théorème de Maschke. Jean-Luc W 7 mars 2007 à 12:11 (CET)

Je n'ai pas le Serre sous la main, mais la démo dans le cas semi-simple (caractéristique du corps première à l'ordre du groupe) est-elle vraiment différente de celle du cas de la caractéristique 0 ? Je la trouve (très) ressemblante. Par ailleurs, on parle de G invariant sous le produit scalaire, il me semble que ce devrait être l'inverse. Je vais corriger au moins ce deuxième point.Salle 15 mars 2007 à 19:03 (CET)

Oui, il existe deux différences notoires, la première concerne les valeurs que la caractéristique p ne peut pas prendre. L'ordre du groupe amène une situation différente par exemple et le théorème de Maschke ne s'applique plus, la dimension des représentations irréductibles avec un raisonnement sur les entiers algébriques (un peu subtil) qui montre qu'elle divise l'ordre du groupe. Mais il faut développer d'abord les K algèbres de groupes finis, enfin il faut faire attention à la valeur deux sinon l'équivalent du conjugué des complexes n'existe pas. Puis dans le cas de la caractéristique 0 la forme bilinéaire prend ses valeurs dans le corps premier id les rationnels et Oh miracle elle est positive, dans le cas de la caractéristique p un ordre sur le corps premier c'est délicat.

Il manque encore trop d'outils pour développer ce point important de la théorie, j'avance donc sur les autres fronts et je compte y revenir une fois les outils présents. Le paragraphe sera transférer dans un article dédié et représentation des groupes finis deviendra un article de synthèse avec l'historique, la description qualitative des différents pans de la théorie, la motivation et les applications : cristalographie, théorie des codes, analyse harmonique, Galois, classification des groupes avec surtout Burnside.

Tu n'as pas tout les torts sur on cherche les produits scalaires invariant pas les groupes invariant pour un produit scalaire. Jean-Luc W 15 mars 2007 à 21:55 (CET)

[modifier] Premières reflexions en vrac pour une synthèse

[modifier] difficultés à surmonter

• Si la théorie commence par des techniques relativement simples et communes, comme le lemme de Schur, elle se complique rapidement et de manière diabolique.
• La théorie développe deux familles de méthodes rapidement distinctes en algèbre et en géométrie diff. Cependant ces outils sont à la base communs.
• Les applications sont nombreuses et différentes dans leur nature, cependant elles ont très souvent des points initiaux communs.

On tombe sur des travers actuellement existant dans la version française et mal réglés dans la version US:

• Les articles à large spectre développent le b a ba puis, avec une rupture de style évidente, deviennent générals, la description est alors plus profonde mais tombe dans le superficiel, les définitions ne sont plus données ni les démonstrations.

• La séparation entre algèbre et géométrie est brutale, aucune analyse n'est faite sur les aspects communs aux deux pans.

[modifier] Eléments de solutions

Je propose ici et à l'avance quelque bribes de reflexion encore bien peu aboutit.

• Séparer clairement les articles de synthèses des articles techniques. Tenter comme je le fais pour l'instant de décrire les rudiments dans l'article de synthèse ne fait à mes yeux pas sens.
• Définir les grands outils généraux aux deux théories. Pour l'instant je vois : fondements jusqu'à Maschke, produit tensoriel, algèbre de groupe, caractère, représentation induite. Puis ensuite les éléments spécifiques (revètements, forme modulaires, ...)
• Lister les objectifs communs, je vois pour l'instant la classification et les créations d'outils opérationnels comme l'analyse harmonique.
• Mettre en communs les idées existentes, sous différentes formes et à ma connaissance pour l'instant les acteurs sont Utilisateur:Lyoa/Brouillon, Utilisateur:Ektoplastor, Utilisateur:84kg/Bac à sable et moi-même.
• Un modèle à mon goût pour les articles de synthèses Variété (géométrie), explications claires, prise de conscience des mécanismes sous-jacents par des figures et une bonne exhaustivité.

C'est très parcellaire, peu abouti, mais peut peut-être aider à préparer la formalisation de la synthèse. Jean-Luc W 16 mars 2007 à 10:36 (CET)

[modifier] Début de refonte

Les représentations des groupes finis contiennent maintenant un peu de matière avec une douzaine d'articles sur le sujet. Il est temps de commencer la phase encyclopédique pour quitter le pur cours de math. L'objectif étant un article qui puisse intéresser depuis, disons un niveau de terminal jusqu'à quelqu'un connaissant les rudiments et souhaitant une vision plus exhaustive de la théorie.

Il serait bien de créer une Catégorie:Théorie des représentations des groupes finis, qui posséderait deux articles principaux : celui-ci et l'article plus "austère" évoqué plus bas.

Ensuite, je doute que le sujet puisse intéresser l'élève moyen de terminale qui ne sait pas ce qu'est un groupe. (Et la définition formelle d'un groupe ne lui apportera certainement pas grand chose dans la vie.) Certains élèves du collège (une minorité) peuvent être plus intéressés par cet article.

Il faut mieux viser l'internaute, qui n'est pas forcément étudiant, car j'espère bien qu'il n'y a pas que les étudiants qui s'intéressent aux mathématiques... Ekto - Plastor 26 mars 2007 à 14:46 (CEST)

Je ne partage pas ton opinion sur la nécessité d'une nouvelle catégorie. Jean-Luc W 27 mars 2007 à 12:46 (CEST)

[modifier] Un peu d'histoire

L'objectif est

• d'insister un peu sur les premisses c'est à dire essentiellement la théorie des groupes finis et Galois, pour les non spécialistes ;
• de développer la partie classique correspondant en gros aux vingt premières années, avec l'établissement des bases;
• expliquer le rapport avec l'arithmétique et l'apport de Brauer;
• montrer comment la caractéristique finie est intervenue;
• terminer sur le programme de Langlands et la classification des groupes finis avec Burnside.

OK. Ekto - Plastor 26 mars 2007 à 14:46 (CEST)

[modifier] Une vision synthétique de la théorie

Sans démonstration, dans un style accessible en expliquant les différents apports des autres théories et riche en exemple pour faire prendre conscience de la théorie.

Thèmes déjà abordés :

• Caractères
• Algébre d'un groupe
• Extension

Manquant :

• Corps hétéroclites, les réels et la caractéristique qui divise l'ordre du groupe.
• Arithmétique, il n'existe qu'un tout petit début.

Quelle est la différence entre une vision synthétique et la vision que donnera les explications historiques ? Un paragraphe synthèse ne risque-t-il pas de doublonner le paragraphe histoire en reprenant les résultats et en supprimant les dates ?

La réponse sera dans l'article, et je note le risque que je tacherais d'éviter. Jean-Luc W 27 mars 2007 à 12:46 (CEST)

[modifier] Applications

L'apport pour Galois avec le théorème de Burnside sur les groupes résolubles, la théorie des groupes finis avec les groupes simples et par exemple celui d'ordre 168, l'analyse harmonique abélienne et non abélienne, la théorie des corps avec les corps gauches de caractéristique 0, et au moins trois applications pratiques : la chimie, la théorie des code, la propagation de la chaleur dans les critaux.

[modifier] Vers un autre article

Cela impose la création d'un autre article théorie des représentations des groupes finis, plus austère et plus orienté vers les définitions et les concepts de base pour que les autres articles puissent tout de même faire sens. Jean-Luc W 26 mars 2007 à 13:50 (CEST)

Je proposerais Lexique des représentations des groupes finis. Ekto - Plastor 26 mars 2007 à 14:46 (CEST)

Ce n'est pas le sens que je compte donner à l'article Jean-Luc W 27 mars 2007 à 12:46 (CEST)